Algebra

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Álgebra linear
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Espaços vetoriais
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Definição
Um espaço vetorial é formado por: 1. Um conjunto cujos elementos serão chamados de vetores; 2. Um corpo cujos elementos serão denominados escalares; 3. Uma operação conhecida como adição de vetores; 4. Uma operação chamada de multiplicação por escalar.
Neste wikilivro, será escrito simplesmente para denotar
Normalmente, o corpo K é o corpo dos números racionais, dos números reais ou dos números complexos.
Definição
Dizemos que é um espaço vetorial sobre quando as operações e satisfazem as seguintes propriedades:
Adição
1. Para cada (comutatividade) 2. Para cada (associatividade) 3. Existe um vetor tal que para cada (neutro aditivo) 4. Para cada existe tal que (inverso aditivo)
Multiplicação por escalar 1. Para cada e cada (distributividade) 2. Para cada e cada (distributividade) 3. Para cada e cada (associatividade) 4. Para cada (neutro multiplicativo)
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Exemplos
* e são espaços vetoriais reais (ou seja, sobre o corpo ). * O conjunto formado pelo único número real 0, ou seja, {0}, é um espaço vetorial sobre * é um espaço vetorial sobre * Os exemplos acima são aplicáveis para qualquer corpo K, ou seja, são espaços vetoriais sobre K: {0}, K e Kn. * Seja o conjunto dos números inteiros positivos, e S o conjunto de todas as funções de domínio e contradomínio Dadas f e g funções e λ um número real, podemos definir
(f + g) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real f(n) + g(n)
(λ f) como a função que leva o número inteiro positivo n no número real λ f(n).
Ou seja, foram definidas as