espaços vetorias

ANHANGUERA EDUCACIONAL
UNIDADE RONDONOPOLIS MT

TRABALHO DE ALGEBRA

ALUNO

DRAITON LUCIANO BUSNELLO

ESPAÇOS VETORIAIS
SUBESPAÇOS VETORIAIS
COMBINAÇAO LINEAR

RONDONOPOLIS
2009

Espaço Vetorial
Um espaço vetorial é uma estrutura (V,+,.) formada por um conjunto V de elementos, uma operação + de adição de elementos de V e uma operação . de multiplicação de elementos de V por escalares de um corpo K, satisfazendo às propriedades:
1. Quaisquer que sejam u,v,w V:
(u+v)+w = u+(v+w)
2. Existe ö V (elemento nulo) tal que para todo v V: ö + v = v
3. Para cada v V, existe –v V (elemento oposto) tal que v+(–v)=ö 4. Quaisquer que sejam u,v V, segue que u+v=v+u 5. Para todo escalar k K e quaisquer v,w V:
k.(v+w) = k.v + k.w
6. Para quaisquer k,m K e todo v V:
(k+m).v = k.v + m.v
7. Para quaisquer k,m K e qualquer v V:
(km).v = k(m.v)
8. Para qualquer v V tem-se que
1.v = v

Propriedades em um espaço vetorial
Se V=(V,+,.) é um espaço vetorial sobre um corpo K, valem as propriedades:
Para todo kK segue que k.ö=ö.
O vetor nulo ö é único.
Para todo vV tem-se que 0.v=ö.
Para cada vV o vetor oposto –vV é único.
Seja kK e vV. Se k.v=ö então k=0 ou v=ö.
Se v+u=v+w para u,v,wV, então u=w.
Quaisquer que sejam v,wV, existe um único uV tal que v+u=w.
Para todo kK e para todo vV segue que:
(–k).v = –(k.v) = k.(–v)
1. Para todo kK e para todo vV segue que
(–k)(–v) = kv
2. Se k1,k2,…,knK e vV, então:
(k1+k2+…+kn)v = k1v + k2v+…+knv
3. Se kK e v1,v2,…,vnV, então: k(v1+v2+…+vn) = kv1 + kv2+…+kvn

Exemplos de espaços vetoriais

Todo corpo K é um espaço vetorial sobre o próprio corpo K com as operações usuais de adição e multiplicação de K.
O corpo R dos números reais é um espaço vetorial sobre o corpo Q dos números racionais com as operações de adição e multiplicação de R.
O corpo C dos números complexos é um espaço vetorial sobre o corpo R dos números reais com as operações de