Calculo vetorial

Campos Vetorias
Definição: Um campo vetorial em R² é uma função F que associa a cada ponto (x,y) pertencente a R² (o mesmo para o R³)
Notação: seja F: R³ R³ F(x,y,z)= P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)K
Exemplo: Análise geometricamente o campo vetorial F: R² R² definido por
F(x,y)= -y i + X j. (i,j) vetores unitários sobre os eixos X e Y
Solução: Seja |F(x,y)|o módulo da função
|F(x,y)|= = (raio da circunferência de centro na origem)
Avaliando o módulo da função temos que a intensidade do campo no ponto (x,y) é igual ao raio da circunferência , de centro na origem, que passa por esse ponto. Então a cada ponto do espaço R² corresponderá um vetor (-y,x) tal que x e y são as coordenadas daquele ponto, em que seu modulo cresce a medida que x e y se afasta da origem tal como o raio de uma circunferência de centro na origem.

Campos Gradientes
Definição: Um campo vetorial F é dito campo vetorial gradiente se existir uma função diferenciavel f tal que
E a função f denomina-se função potencial de F.
Obs.: Nem todo campo vetorial é campo gradiente.
Integral de Linha
Suponha que seja a densidade linear de um fio delgado com o formato de uma curva espacial C e suponha que C tenha parametrização r:[a,b]². Definimos a massa m do fio, por

Esta integral é chamada de integral de linha. Pois ela atua apena sobre a curva C.
Definição: Se f é definida sobre uma curva lisa C, tal que sua deriva r’ é continua e dada uma parametrização r’(t), seja C dada pela equação: x=x(t) y=y(t)
Então a integral de linha de f sobre C é

Se esse limite existir.
Se f é uma função contínua, então este limite sempre vai existir, e a integral de linha pode ser calculada através da fórmula.

Exemplo: Um arame com o formato de um semicírculo x²+y²=1, y≥0, é mais grosso perto da base do que perto do topo. Determine a massa desse arame se a função densidade linear em qualquer ponto é proporcional à sua distância à reta y=1.
Solução: A densidade