Gaal

GAAL - Segunda Prova - 10/novembro/2012 SOLUCOES ¸˜

Quest˜o 1: Considere os pontos A = (1, −1, 0), B = (9, 3, 4) e C = (4, 1, −2). a (a) Determine o ponto H da reta AB que est´ mais pr´ximo de C. a o (b) Determine o ponto D da reta AB tal que o triˆngulo ADC seja is´sceles de base AD. a o SOLUCAO: ¸˜ − → (a) Um vetor diretor da reta r pode ser AB = B − A = (8, 4, 4) = 4(2, 1, 1). Vamos considerar Vr = (2, 1, 1) o vetor diretor da reta r. Assim a equa¸˜o param´trica de r ca e pode ser escrita como P = A + tVr : (x, y, z) = (1, −1, 0) + t(2, 1, 1). Um ponto gen´rico da reta r ´ P = (1 + 2t, −1 + t, t). Ligando P ao ponto C obtemos o e e − → vetor CP = (−3 + 2t, −2 + t, 2 + t). Para determinar o ponto H, queremos que o vetor − → − → CP seja ortogonal a reta r, ou seja, CP , Vr = 0. Isto nos d´ a equa¸˜o a ca 2(−3 + 2t) + (−2 + t) + (2 + t) = 0 cuja solu¸ao ´ t = 1. Portanto para t = 1 obtemos P = H = (3, 0, 1). c˜ e (b) Observe que o segmento CH ´ uma altura do triˆngulo is´sceles ADC. Da´ H ´ ponto e a o ı e m´dio do segmento AD. Em coordenadas, o ponto m´dio ´ a m´dia aritm´tica dos e e e e e A+D . Isto implica que extremos do segmento e portanto H = 2 D = 2H − A = 2(3, 0, 1) − (1, −1, 0) = (5, 1, 2). De modo alternativo, vamos utilizar a equa¸ao param´trica c˜ e (x, y, z) = (1, −1, 0) + t(2, 1, 1) da reta AB deduzida no item anterior. Nesta parametriza¸ao, para t = 0 estamos no c˜ ponto A e para t = 1 estamos no ponto H. Da´ como H ´ o ponto m´dio do segmento ı, e e AD, podemos concluir que para t = 2 estamos no ponto D = (1, −1, 0) + 2(2, 1, 1) = (5, 1, 2).

Quest˜o 2: Considere os planos α e β de equa¸oes gerais a c˜ α : x − 2y − 2z = 1 β : −2x + 5y + z = 0.

(a) Determine a equa¸ao param´trica da reta r = α ∩ β. c˜ e (b) Detemine a equa¸ao de uma reta s contida em α e que seja perpendicular a r. c˜ (c) Calcule o cosseno do angulo entre os planos α e β. ˆ SOLUCAO: ¸˜ (a) Para calcular a reta r = α∩β precisamos determinar o conjunto solu¸ao do sistema