Seja F X X 2

1, 2, 1 2 , − 2 . y y 3 3 2 2 y=x 1 1 x -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x -1 -1 -2 -2 -3 -3 k=0 D ( f ) = IR Im( f ) = {0} y k=1 D ( f ) = IR Im( f ) = IR y 3 3 2 2 y=2x 1 1 y=1/2x x -3 -2 -1 1 2 3 -3 -2 -1 1 2 3 x -1 -1 -2 -2 -3 -3 k=2 D ( f ) = IR Im( f ) = IR k=1/2 D ( f ) = IR Im( f ) = IR 71 y 3 3 y y=-x 2 2 1 1 x -3 -2 -1 -1 1 2 3 -3 -2 -1 -1 1 2 3 x y=-2x -2 -2

. . . . . . . . . . . . . . . . . u 4 1.3 M´dulo de um N´mero Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o u 7 1.4 *Limita¸˜o de Subconjuntos de R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 11 2 Fun¸˜es co 17 2.1 No¸oes Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ 17 2.2 Opera¸oes com Fun¸oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c˜ c˜ 20 2.3…

reta que passa por P(x 0 , y 0 ) e de coeficiente angular m é dada por y - y0 = m(x − x 0 ). Assim sendo, temos que a equação de uma reta t , tangente à curva y = f (x) no ponto P = (x 0 , y 0 ) = (x 0 , f (x 0 )) é dada por : y - y0 = f (x 0 ) · (x − x 0 ). Em geral, se queremos aproximar a função f (x), nas proximidades de x 0 , por um função na forma g (x) = ax + b, tomamos g (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) · (x − x 0 ).O gráfico de g será então a reta tangente ao gráfico de f no…

um maior domínio destas regras. 1 A n a M a to s - R eg ra s d e D e riva ç ã o - 1 2 N ov . 2 0 1 0 1.2 Em que consistem as Regras de Derivação Como foi explicado na nota prévia, vamos apresentar as regras de derivação como se estivessemos num jogo, em que temos as peças e as regras do jogo: • as peças são as derivadas de algumas funções, por exemplo: √ constantes, x, xn , n x, ex , ln x, sen x, cos x, etc (ou seja, as derivadas das funções mais elementares, à custa das quais…

conjunto aberto e f : A −→ R uma função. 1. A derivada parcial de f em relação à variável x, no ponto (x, y, z) ∈ A é denotada por ∂f (x, y, z) e definida por: ∂x f (x + t, y, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂x t se o limite existe. 2. A derivada parcial de f em relação à variável y, no ponto (x, y, z) ∈ A é denotada por ∂f (x, y, z) e definida por: ∂y f (x, y + t, z) − f (x, y, z) ∂f (x, y, z) = lim t−→0 ∂y t se o limite existe. 3. A derivada parcial de f…

Se o lim f (x ) existe, então ele é único. x→ a Demonstração: Suponhamos que lim f (x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 . Vamos provar que x →a L1 = L2 . Seja (xn ) x →a uma sequência de pontos do domínio de f satisfazendo: lim xn = a e xn ≠ a, ∀n . Conforme nossa suposição, lim f (x ) = L1 e lim f ( x ) = L2 . Pela x →a x →a definição 1, segue que L1 = L2 . Teorema 2: Se a, b, c são números reais, então lim(bx + c ) = ba + c . x→a Demonstração: Seja f (x ) = bx +

Ferreira 01) Sejam f , g : X → ¡, a ∈ X , com lim f ( x ) = L e lim g ( x ) = M . Prove: x→ a x→ a a) lim f ( x) ± g ( x) = L ± M x→ a Demonstração : Pela definição de limite: ∀ ε > 0∃ , δ > 0 tq 0 < x − a < δ ⇒ x→ a ( f ( x ) + g ( x) ) − ( L + M ) < ε ε 2 ε 2 Como lim f ( x) = L suponha que existe δ 1 > 0 tal que x − a < δ 1 → f ( x) − L < x→ a e Como lim g ( x) = M suponha que existe δ 2 > 0 tal que x − a < δ 2 → g ( x) − M <…

Examinar o comportamento da função: f ( x)  x 2  x  1 quando x encontra-se cada vez mais próximo de 2. 02 de 29 aproximando pelo lado esquerdo x f(x) 1.0 1.000000 1.5 1.750000 1.9 2.710000 1.95 2.852500 1.99 2.9770100 1.995 2.985025 1.999 A partir da figura abaixo e da tabela ao lado, fica evidente que os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de 3 à medida que x estiver cada vez mais próximos de 2, por qualquer um…

1. Sabendo que f(g(x)) = 3x - 7 e f(x) = x/3 - 2, então: a) g(x) = 9x - 15 b) g(x) = 9x + 15 c) g(x) = 15x - 9 d) g(x) = 15x + 9 e) g(x) = 9x – 5 Solução. Escrevendo a expressão de f(g(x)) com a lei de f(x) indicada e comparando com a f(g(x)) informada, temos: . 2. Para cada inteiro x > 0, f(x) é o número de divisores positivos de x e g(x) é o resto da divisão de x por 5. Então g(f(45)) é: a) 4 b) 3 c) 2

derivada de f (x) = xn ´ a fun¸˜o f (x) = nxn−1 e usando as duas primeiras ca e ca proprieades operat´rias das derivadas, determine a fun¸˜o derivada de: o ca (a) f (x) = 2x + 4 (b) f (x) = 3x − 2 (c) f (x) = x3 − 2x2 − 2x + 4 (d) f (x) = x3 + 3x2 − 3x − 6 (e) f (x) = 5x3 + 2x2 + 2x − 6 (f) f (x) = 4x3 + 3x2 − 2x − 3 (g) f (x) = 2x2 + 4x + 3 (h) f (x) = 3x4 + 2x3 − 5x2 + 3x + 4 (i) f (x) = −x2 − 5x − 4 (j) f (x) = x4 + x3 + 2x2 − x − 1 2. Calcule a derivada de: 1 x2 …