Seja F X X 2

. . . . . . 1.2 Relação de ordem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Princípio de indução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Funções (reais de variável real) 2.1 Generalidades sobre funções . . . . . 2.2 Soma, multiplicação e composição de 2.3 Monotonia, máximos e mínimos . . . 2.4 Gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 6 . . . . 9 9 14 16 20

1+ 2 + 3 + 4 +L+ n = ∑k = k =1 n( n + 1 ) 2 n 12 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + L + n 2 = ∑ k 2 = k =1 ~ soma de inteiros sucessivos n( n + 1 )( 2n + 1 ) ~ soma de quadrados sucessivos 6 A integral de Riemann de uma função f (x ) num intervalo [a ,b] , é equivalente à soma de todos os elementos de área sob a curva f (x ) , ou seja: [c k , f (c k )] Y ............................. [c n , f (c n )] ...................... ck Ak cn X x k − x k −1 x…

os seguintes conjuntos i. ii. iii. iv.  2;3  2;2 0;1   2;2  2;   6 ;4  4;6  b) Resolva as seguintes equações i. ii. iii. iv. x2  4x  4  0 3x 2  6 x  0  2x 2  4x  4 x4  9  0 c) Resolva as seguintes inequações, indique a solução em notação de intervalos e represente na reta real i. ii. iii. iv. x 2  3x  2  0 x 2  x  20 x 2 x  4 ( 1  x )  0 3x  6 0 x5 v. x2  5x  6 0 x2  9 d) Determine todos os números…

FUNÇÃO 2x 2 − x − 1 Seja a função f(x) = definida para todo x real e x ≠ 1. Se x ≠ 1, podemos ( x − 1) dividir o numerador e o denominador por x - 1 obtendo f(x) = ( 2 x + 1)( x − 1) ⇒f(x) = 2x + 1. ( x − 1) Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes de 1. Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos: x f(x) 0 1 0,5 2 0,75 2,5 0,9 2,8 0,99 2,98 0,999 2,998 Se atribuirmos a x…

ponto Sejam f : X → R, a ∈ X e a ∈ X . Diz-se que f ´ cont´ e ınua no ponto a se, e s´ se, o lim f (x) = f (a) x→a (qualquer que seja o n´mero positivo existir δ > 0, tal que, u sempre que x seja um ponto de X e verifique a condi¸˜o ca |x − a| < δ, se tenha |f (x) − f (a)| < ). Assim, lim f (x) = f (a) ⇔ x→a ⇔ ∀ > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X : |x − a| < δ ⇒ |f (x) − f (a)| < Observa¸˜es co 1 S´ faz sentido falar em continuidade de uma fun¸˜o…

funções: a) f(x) = 3x + 2 b) f(x) = 1 – 4x2 Respostas: a) 3 b) - 8x c) x 0 f ( x  x)  f ( x) , determinar a derivada das x 1 x2 d) f(x) = 2x2 – x – 1 c) f(x) = x  22 1 d) 4x - 1 2) Obtenha a derivada de cada função a seguir. a ) f ( x)  10 b) f ( x )  x 5 c) f ( x)  10 x 5 1 d ) f ( x)  x 2 2 e) f ( x )  x 2  x 3 f ) f ( x)  10 x  5 x g ) f ( x)  2 x  1 3 2 3 2 2 j ) f ( x)  3 ln x  5 l ) f ( x)  10 ln x  3 x  6 x 1 m) f ( x…

Stewart). x+4 Calcule lim x → −4 − x + 4 Solução x+4 0 , vamos obter , que é uma indeterminação. Se substituirmos x por 4 na função x+4 0 Nestes casos, devemos tentar simplificar a fração. Aqui, vamos lembrar que se a < 0 então |a| = - a. Portanto, para x < 4, temos x – 4 < 0 e | x – 4| = - (x – 4). Assim, x+4 − ( x + 4) lim = lim = lim (−1) = −1 x → −4− x + 4 x→ −4 − x→ −4 − x +4 C.M.C.L. – Cálculo 1 Exemplo: página 112 exercício 46 do livro texto (5ª edição do Stewart). 4…

Módulo 2 Derivadas Incremento e taxa média de variação Consideremos uma função f , dada por y f (x) . Quando x varia de um valor inicial de x para um valor x , temos o incremento em x . O símbolo matemático para a variação em x x , será x (leia-se delta x ). Logo, A partir de agora, veremos um dos conceitos mais importantes do calculo diferencial: a derivada de uma função. x x – valor inicial de x . Por exemplo, quando x passa de um valor inicial 2 para um valor x…

resposta. a) f(x) = 6x4 – 7x3 + 2x + c) y = 2 − x2 3x 2 + 1 e) f ( x) = 1 3 + 2 x− 5 x 3x d) y = (2x + 5)3(x + 1)2 x2 + 1 2 1  g) y =  x +  − x  j) y = 3 b) f(x) = x − 2 f) f(x) = (5x4 – 3x2 + 2x + 1)10 5 3x  x + 1 h) y =    1− x  2 i) y = (3x + 1) 3 (1 − 3x ) 4 1 − 2x 3x + 2 2. Encontre a equação da reta que é tangente ao gráfico de f no ponto (x, f(x)) para o dado valor de x: a) f(x) = x2 – 3x + 2; x = 1 b) f ( x) = 4 ; x= 1 x− 3 c) f ( x) = x ; x= 0 x +1…

x x Solução: x x x x x 5 – 2x x x 8 – 2x A caixa assim obtida tem formato de um paralelepípedo retângulo, cujo volume é dado por: V = área da base x altura, onde a base é um retângulo de área