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Módulo 2

Derivadas

Incremento e taxa média de variação
Consideremos uma função f , dada por y f (x) .
Quando x varia de um valor inicial de x para um valor x , temos o incremento em x . O símbolo matemático para a variação em x x , será x (leia-se delta x ). Logo,

A partir de agora, veremos um dos conceitos mais importantes do calculo diferencial: a derivada de uma função.

x x – valor inicial de x .
Por exemplo, quando x passa de um valor inicial 2 para um valor x será x 2,5 2 0,5.
O incremento em y , y (leia-se delta y ), será y y – valor inicial de y .
Por exemplo, quando y passa de um valor inicial 5 para um valor y será y
Consideremos agora a função y

7,25 5 2,25 . f (x) x 2 1 . Vamos calcular

x quando x varia do valor x 1 para x

3 e também calcular y . Ini-

cialmente temos x 3 1 2 . Para calcularmos o valor de y , temos
• para x 1 y f (1) 12 1 2 e
• para x

2

y

f (2)

22 1 5 .

Assim, y 5 2 3 . Portanto,
De um modo geral, temos
Valor inicial de x x0 f (x0 )

Valor inicial de y y f x0

x

2e y x x0 y x

3. x; f x0

x . Assim,

f (x0 ) .

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Curso de Graduação em Administração a Distância

y

f x0 x0 2 x0 x 2 1 , temos

f (x)

Para a função y

f (x0 )

x x 2

2x0 x

2x0 x

2 x0 1

1

x x 2

2
1 x0 1

2

Portanto, y 2 x0

2

x

x .

O que acabamos de mencionar, (conceito de incremento), nos motiva

Seja f (x) x0 [a,b] ,

x [a,b] com x

[a,b] e x0 . Quando a variável x

passa para o valor x x0 para o valor x x0 x sofrendo uma variação x , x x x0 , o correspondente valor da função passa de f (x0 ) para o valor f x0 x sofrendo, portanto, uma variação

y

f x0

x

y

y = f(x)

}

f(x)

0

Figura 5.1

200

∆y

}

f(x0)

f x0

∆x

x0

x

x

Módulo 2

Vale destacar:
O quociente y f (x) f (x0 ) x x0 x x

f x0

f x0

,

x

recebe o nome de taxa média de