graduação em matemática

Apostila de Limite para o Curso de Administração

Prof Iran Aragão 1

SIR ELIAS
UNIDADE 1 - LIMITES
1.1 NOÇÃO DE LIMITE DE UMA FUNÇÃO

2x 2 − x − 1
Seja a função f(x) = definida para todo x real e x ≠ 1. Se x ≠ 1, podemos
( x − 1)

dividir o numerador e o denominador por x - 1 obtendo f(x) =

( 2 x + 1)( x − 1)
⇒f(x) = 2x + 1.
( x − 1)

Estudemos os valores da função f quando x assume valores próximos de 1, mas diferentes de 1.
Atribuindo a x valores próximos de 1, porém menores que 1, temos: x f(x)

0
1

0,5
2

0,75
2,5

0,9
2,8

0,99
2,98

0,999
2,998

Se atribuirmos a x valores próximos de 1, porém maiores que 1, temos: x f(x)

2
5

1,5
4

1,25
3,5

1,1
3,2

1,01
3,02

1,001
3,002

Observemos em ambas as tabelas que, quando x se aproxima cada vez mais de 1, f(x) aproxima-se de 3, isto é, quanto mais próximo de 1 estiver x, tanto mais próximo de 3 estará f(x). 1.2 LIMITE DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL
Uma das conseqüências das propriedades de limite é a regra de obter o limite de uma função polinomial.
Teorema 1
O limite de uma função polinomial n f(x) = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn =

∑

aixi, ai ∈ R, para x tendendo para a, é igual ao

i= 0

valor numérico de f(x) para x = a.
Por uma questão de simplicidade indicaremos as propriedades de limites como sendo as propriedades P e vamos fazer rápido sumário dessas propriedades.
PROPRIEDADES
lim lim Se x → a f(x) = L, x → a g(x) = M e c = constante, então: lim 1. x → a c = c

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lim lim 2. x → a [c. f(x)] = c. x → a f(x) = c . L lim lim lim 3. x → a [(f + g) (x)] = x → a f(x) + x → a g(x) = L + M lim lim lim 4. x → a [(f - g) (x)] = x → a f(x) - x → a g(x) = L - M lim lim lim 5. x → a [(f . g) (x)] = x → a f(x) . x → a g(x) = L . M lim f ( x )
L
lim  f ( x )  = x → a
6. x → a 
=
(M

lim g( x ) g( x ) 
M
 x→ a

≠ 0)

lim
lim