Hiperbolóides

Elipse HIPERBOLÓIDE DE UMA FOLHA Uma quádrica S é um hiperbolóide de uma folha se existirem números reais positivos a,b,c ao qual S pode ser descrita pela equação: O traço no plano xy é uma elipse, como são os traços nos planos paralelos ao plano xy. Os traços nos planos yz e xz são hipérboles, bem como os traços nos planos paralelos a eles que não passam pelos cortes com os eixos x e y. Nesses pontos, os traços são pares de retas concorrentes. HIPERBOLÓIDE DE DUAS FOLHAS

simetria, gera uma superfície que tem o nome de hiperbolóide de revolução. Nestas superfícies as secções ao eixo de rotação são circunferências e as secções paralelas ao eixo são hipérboles. Em 1669, Christopher Wren1 mostrou que o hiperbolóide de uma folha pode ser gerado pelo movimento de uma reta que se apóia em duas circunferências, esta superfície pode ser considerada formada por uma infinidade de retas e é conhecida como superfície regrada. O hiperbolóide de uma folha é usado na…

@h @l fffffff ffffff ffffff ffffff fff f ffffff a2 Hiperbolóide de uma folha: + b 2 + c2 =1 Centro C(0, 0, 0). Um dos sinais é sempre negativo. 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f (1) + + - : ff+ ff ff 1 @ 2f= a2 b2 c 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (2) + - + : ff ff+ ff 1 @ 2 = 2 2 a c b 2 2 2 xff yff zff ff ff f f f f (3) - + + : @ ff+ ff+ ff 1 = a2 b2 c2 Hiperbolóide de duas folhas: Centro C(0, 0, 0). Dois sinais…

Exemplo 6 Esboce a superfície SOLUÇÃO: O corte em qualquer plano horizontal z = k é a elipse z=k mas os cortes nos planos xz e yz são as hipérboles y=0 e x=0 20 Exemplo 6 – Solução continuação Essa superfície é chamada hiperboloide de uma folha e está esboçada na Figura 9. Figura 9 21 Superfícies Quadráticas A ideia de usar os cortes para desenhar a superfície é empregada em programas de computadores que fazem gráficos tridimensionais. Na maioria…

interseção com os planos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0. (b) Parametrize a curva γ de interseção de S1 com S2 . (c) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva γ no ponto P0 = (−1, 0, 1). Solução: (a) S1 : Hiperbolóide de uma folha: 2x2 + 3y 2 − z 2 = 1 Determinando as curvas de interseção com os planos coordenados: Fazendo z = 0, obtemos a elípse 2x2 +3y 2 = 1 Fazendo as interseções com os planos coordenados x = 0 e y = 0, obtemos,…

utilizadas na arquitetura como pode ser observado da catedral de Brasília e no planetário do St. Louis Science Center, nos Estados Unidos. Já na engenharia civil, o hiperboloide (sólido originado da rotação de uma hipérbole) é utilizado na construção de torres de refrigeração de usinas nucleares. Isso se deve ao fato de que o hiperboloide é uma superfície duplamente regrada, ou seja, para cada um dos seus pontos existem duas retas distintas que se interceptam na superfície (observe…

de coordenadas: rotações e translações. Cônicas. Cônicas degeneradas. Parábola. Elipse. Hipérbole Translação e rotação de cônicas. SEXTA AVALIAÇÃO: 07/12 Cilindros. Esferas. Quádricas. Quádricas degeneradas. Elipsóide. Quádricas. Hiperbolóide de uma folha. Hiperbolóide de duas folhas. Quádricas. Parabolóide eliptico. Cone. Parabolóide hiperbólico. Superfícies Cônicas e Cilindricas. Translação e rotação de quádricas. Coordenadas polares. Coordenadas cilindricas e esféricas. Esboço de…

Superfícies refletoras hiperbólicas (hiperbolóide de duas folhas): Consideremos um espelho refletor com o formato de uma folha do hiperbolóide gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de seu eixo focal, sendo que a parte refletora está do ``lado de externo'' do hiperbolóide (parte côncava). Segue da Proposição 5.3 que um raio de luz irradiado de uma fonte A incide segundo uma reta no espelho e é refletido numa direção passando pelo ``foco'' da outra folha do hiperbolóide. Alguns…

fundamental foi lançada em 12 de setembro de 1958. Teve sua estrutura pronta em 1960,2 onde apareciam somente a área circular de setenta metros de diâmetro, da qual se elevam dezesseis colunas de concreto (pilares de secção parabólica) num formato hiperboloide, que pesam noventa toneladas. O engenheiro Joaquim Cardozo foi o responsável pelo cálculo estrutural que permitiu a construção da catedral. Parábola Em nosso dia-a-dia, as parábolas são utilizadas em diversos equipamentos e…

distância de P à superfície do elipsoide medida sobre a sua normal. 5 – Marque a alternativa que indica as superfícies mais utilizadas na Geodésia como referência das altitudes: ( x ) Geoide e Elipsoide ( ) Elipsoide e hiperboloide ( ) Paraboloide e Geoide ( ) Hiperboloide e paraboloide 6 - Qual a projeção mais utilizada na confecção de mapas no BRASIL : ( ) Sistema Geodésico Brasileiro SGB ( x ) Universal Transversa de Mercator UTM. ( ) Datum Astro-geodésico…