p1 de calculo 2 ufrj 2012.2

NOME:
Gabarito da

Universidade Federal do Rio de Janeiro

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Instituto de Matemtica

1 Prova de Cálculo II - 06/12/2012 a Departamento de Mtodos Matemticos

1a QUESTÃO : Um tanque possui 10 litros de solução com cloro numa concentração de 4 mg/L. Se adicionamos água ao tanque por uma mangueira numa taxa de 1 L/min contendo 1 mg/L de cloro e a solução homogênea sai do tanque por um orifício em sua base com vazão de 2 L/min, determine:

(a) o volume da solução homogênea no tanque no instante t;
(b) a quantidade de cloro no tanque no instante t;
Solução:

Resolução.
(a)

O volume no tanque no instante t é dado pela fórmula:
V (t) = 10 + (ve − vs )t;

onde ve é a vazão de entrada 1 L/min e vs é a vazão de saída 2 L/min. Portanto,
V (t) = 10 − t.
(b)

A quantidade de cloro no tanque no instante t, Q(t), varia de acordo com a regra:
Q (t) = Qe − Qs ,

onde Qe é a taxa da quantidade de cloro que entra no tanque e Qs é a taxa da quantidade de cloro que sai do tanque, i.e.
Qe = 1
Qs =

mg min Q(t)
Q(t) mg
· vs = 2
V (t)
10 − t min

A equação diferencial obtida nesse caso é:
Q (t) + 2

O fator integrante é µ(t) = µ, obtemos

Q(t)
= 1.
10 − t

1 e, portanto, multiplicando a equação por
(10 − t)2
(µ · Q) (t) =

Integrando dos dois lados, temos que
1

1
.
(10 − t)2

Q(t)
=
(10 − t)2

1
1
+ C. dt =
2
(10 − t)
10 − t

onde C é a constante de integração. Daí segue que Q(t) = (10 − t)(1 + C(10 − t)).
Como Q(0) = 40, encontramos que C = 0, 3. Assim,
Q(t) = 10 − t + 0, 3(10 − t)2 = 40 − 7t + 0, 3t2

2a QUESTÃO : Seja C uma curva parametrizada por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), de modo que σ(0) = (0, 0, 0), σ (0) = (−1, −1, −1) e σ (t) + 2σ (t) + 2σ(t) = f (t)

para todo t ∈ R, onde f (t) = (5 sen 2t, e−t , 5 sen 2t − e−t ).
Determine a parametrização σ(t).
Solução: Como σ (t) + 2σ (t) + 2σ(t) = f (t) = (5 sen 2t, e−t , 5 sen 2t − e−t )