Geometria

GUIDG.COM – PG. 1

14/4/2010 – ALGA-1: Exercícios Resolvidos – Superfícies Quádricas
* Do Livro de Geometria Analítica - Alfredo Steinbruch, Paulo Winterle.

1 – Revisão de conteúdo.
2 – Veja alguns exemplos gráficos de superfícies geradas a partir do computador. Partindo de exercícios mais simples, e seguindo até as formas mais complicadas.

Uma brevíssima revisão das equações e dos gráficos de superfícies:
Elipsóide:

Centro C(0, 0, 0):
2
2
2
xff yff zff ff ff ff ff ff f f f
+ 2 + 2f= 1 a2 b c O sinais da equação são positivos. a, b e c são os eixos das elipses.
Centro C(h, k, l): b c2
`
a2 a2 yffffff `ffffff
@ffff ffffff kfff zfffff xffffff ffff
@h
@l fffffff ffffff ffffff ffffff fff f ffffff

a2

Hiperbolóide de uma folha:

+

b

2

+

c2

=1

Centro C(0, 0, 0).
Um dos sinais é sempre negativo.
2
2
2
xff yff zff ff ff f f f
(1) + + - : ff+ ff ff 1
@ 2f= a2 b2 c
2
2
2
xff yff zff ff ff f f f f (2) + - + : ff ff+ ff 1
@ 2
=
2
2
a c b
2
2
2
xff yff zff ff ff f f f f (3) - + + : @ ff+ ff+ ff 1
=
a2 b2 c2

Hiperbolóide de duas folhas:

Centro C(0, 0, 0).
Dois sinais são sempre negativos.
2
2
2
xff yff zff ff ff f f f
(1) + - - : ff ff ff 1
@ 2 @ 2f= a2 b c 2
2
2 xff yff zff ff ff f f f
(2) - + - : @ ff+ ff ff 1
@ 2f= a2 b2 c
2
2
2
xff yff zff ff ff f f f f (3) - - + : @ ff ff+ ff 1
@ 2
=
2
2
a c b

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Parabolóide Elíptico:
Os sinais são iguais. ax, by, cz
(1)

2
2
xff yff ff ff ff ff f + ff cz
=
a2 b2

(2)

2
2
xff zff ff ff ff ff f f
+ 2 = by a2 c

(3)

2
2
yff zff ff ff ff ff ff f
+ 2 = ax
2
c b Parabolóide Hiperbólico (Sela):
Os sinais são contrários.
(1)

2
2
yff xff ff ff ff ff f f
@ 2 = cz
2
a b 2
2
zff xff ff ff ff ff f f
(2) 2 @ 2 = by c a

(3)

Superfície Cônica:

2
2
zff yff ff ff f f ff f @ 2 = ax c2 b

Equações