Apostila Reta Minha

Referências Bibliográficas BOULOS, P. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: McGraw-Hill, 1987. CAMARGO, I. Geometria analítica: um tratamento vetorial. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005. STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria analítica. São Paulo: Person Makron Books, 1987. IEZZI, G. Fundamentos de matemática elementar, 7: geometria analítica. São Paulo: Atual, 1993. KLETNIC, D. Problemas de geometria analítica. Belo Horizonte: Cultura Brasileira, 1984. LIMA, E. L. Coordenadas no plano. Rio de Janeiro: SBM, 1992. (Coleção do professor de matemática). STEINBRUCH, A. Geometria analítica plana. São Paulo: McGraw-Hill, 1991. 4. A RETA   Reunião de infinitos pontos . A reta possui quatro equações que serão estudadas a seguir: 4.1 Equação Vetorial da Reta  Seja r uma reta que passa pelo ponto A e tem a direção de um vetor não nulo v . Para que um ponto   P do espaço pertença a reta r e necessário e suficiente que os vetores AP e v sejam colineares (paralelos), isto é:   AP = t v ou  P – A =t v  então: P  A  t v (1) Se P(x, y, z) é um ponto qualquer da reta r, A( x1 , y1 , z1 ) é um ponto conhecido da reta r e o vetor v  (a, b, c) tem a mesma direção da reta r, a equação (1) fica definida da seguinte forma: ( x, y, z)  ( x1 , y1 , z1 )  t.(a, b, c) (2) A equação (2) é conhecida como equação vetorial da reta. A cada valor de t corresponde um ponto particular P, quando t varia de   a   , o ponto P descreve a reta r.…

t 0 ⎩ ! Equações Paramétricas da Reta “r” 2  Por exemplo, a reta “r”que passa pelo ponto A(−1, 2) e tem a direção do vetor v = ( 2, − 2) tem equação vetorial r ∴(x, y ) = (− 1 + 2 t, 2 − 2 t ), t ∈ IR Atribuindo valores reais para o parâmetro t obtemos pontos de da reta “r”: t = 0 ⇒ P = A (−1, 2) ∈ r t = 1 ⇒ P = B (1, 0) ∈ r t = 2 ⇒ P = C (3,− 2) ∈ r t = −1 ⇒ P = D (−3, 4) ∈ r 1 t = ⇒ P = E (0, 1) ∈ r 2 (referência para o exercício 1) 2º) No espaço ( IR3 ) O desenvolvimento é…

ANALÍTICA RETAS E PLANOS ERON E ISABEL SALVADOR – BA 2007 EQUAÇÕES DA RETA EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA DEF: Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta. Sejam v um vetor diretor de uma reta r e A um ponto de r. r X A v AX = t v, t ∈ R Exemplos: ⇔ X = A + t v, t ∈ R a) Uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(-5, 2, 3) e B(4,-7,-6) é: X = A + t AB ⇒ (x, y, z) = (-5, 2, 3) + t (9,-9, -9), t ∈ R ou ainda, (x, y, z) = (-5,…

Po(xo, yo, zo) e, conforme visto em vetores, podemos definir  V ( Po P) da forma seguinte:  V ( Po P)  x  x0 , y  y0 , z  z 0  (II) Combinando as equações (I) e (II), podemos escrever o seguinte: = t.< a, b, c > Assim, para que isso seja verdade, temos que ter: x – xo =ta y – yo = tb z – zo = tc Reescrevendo as equações acima de outra forma, temos: x = xo + ta y = yo + tb z = zo + tc Como t é um número real qualquer e a, b e c podem assumir,…

Sumário Introdução 4 1 RETAS 5 1.1 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 5 1.2 Equação de uma reta definida por dois pontos 5 1.3 Equação de segmento de reta 6 1.4 Equação simétrica da reta 6 1.5 Equação reduzida de uma reta 7 1.6 Ângulo formado por duas retas 9 1.7 Retas ortogonais 9 1.8 Posição relativa…

Retas EQUAÇÕES DA RETA 1. Equação paramétrica da reta Sejam (0,i,j,k) um sistema de coordenadas P(x, y, z) e A(x1, y1, z1) um ponto genérico e um ponto dado, respectivamente, da reta r, e v=ai+bj+ck um vetor de mesma direção de r. Desenvolvendo a equação vetorial da reta r: P=A+ t v, x, y, z=(x1, y1, z1)+t(a, b, c) (x,y,z)=(x1+at,y1+bt,z1+ct) x=x1+aty=y1+btz=z1+ct As equações acima, nas quais a, b, e c não são todos nulos (v≠0), são denominadas equações paramétricas da…

a mesma direção e sentidos contrários c) k = 1, então, [pic] e [pic]têm a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo, isto é, são vetores eqüipolentes. AULA 03: PROBLEMAS DE GEOMETRIA ANALÍTICA 1. Escrever a Equação 1.1. Equações da Reta Uma reta fica bem determinada quando conhecemos dois de seus pontos ou quando conhecemos um ponto pertencente a ela e uma direção. Assim, os pontos [pic] e [pic] determinam uma e somente uma reta (r) e para determinarmos suas…

.................................................. 81 4. CONSIDERAÇÕES FINAIS ......................................................................... 86 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................ 88 1 MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DOS VALES DO JEQUITINHONHA E MUCURI TEÓFILO OTONI – MINAS GERAIS BACHARELADO EM CIÊNCIA E TECNOLOGIA www.ufvjm.edu.br 1. NOTAS DE AULA 1.1 Referente á Primeira Avaliação…

indispensáveis para a solução da duplicação do cubo. Também era de seu conhecimento as equações das curvas conforme a sua seção: quando formada por seção de um cone circular retângulo era uma constante, quando seção de um cone acutângulo e quando seção de cone obtusângulo. O tratado sobre as cônicas estava entre algumas das mais importantes obras de Euclides, porem se perderam, talvez porque logo foram superadas pelo trabalho mais extenso escrito por Apolônio. A obra de nível mais…

DE ARTE E TECNOLOGIA Professor: A DEFINIR, Maria Inez Carvalho Hoffmann Carga Horária: 80 h/a Ementa: Matrizes, sistemas de equações lineares, vetores, retas e planos. 1. Matrizes: Conceito e Operações. 2. Matrizes: Aplicações. 3. Sistemas Lineares: Resolução Algébrica. 4. Sistemas Lineares: Aplicações. 5. Vetores no Plano e no Espaço. 6. Vetores: Produto Escalar. 7. Vetores: Produto Vetorial. 8. Equações de Retas. 9. Equações de Planos Objetivos Gerais: O curso de GAAL…