espaço vetorial
RETAS EM R3
Seja L uma reta em R3, tal que contenha um ponto dado Po(xo, yo, zo) e é paralela aos
representantes de um vetor R a, b, c dado. A figura a seguir mostra um esboço da reta L
e o representante de posição do vetor R .
A reta L é o conjunto dos pontos P(x, y, z) tal que V ( Po P) seja paralelo ao vetor R . Assim, P está sobre a reta se, e somente se, existir um escalar t não nulo tal que:
V ( Po P) t R
(I)
Lembre-se: se dois vetores são paralelos, então, um deve ser múltiplo escalar do outro. É exatamente isso que está escrito na equação anterior.
Conhecemos os pontos P(x, y, z) e Po(xo, yo, zo) e, conforme visto em vetores, podemos definir
V ( Po P) da forma seguinte:
V ( Po P) x x0 , y y0 , z z 0
(II)
Combinando as equações (I) e (II), podemos escrever o seguinte: = t.< a, b, c >
Assim, para que isso seja verdade, temos que ter: x – xo =ta y – yo = tb z – zo = tc
Reescrevendo as equações acima de outra forma, temos:
x = xo + ta y = yo + tb z = zo + tc
Como t é um número real qualquer e a, b e c podem assumir, também, quaisquer valores reais, então, as três equações anteriores podem nos fornecer todos os valores das coordenadas x, y e z dos pontos que pertencem à reta L. Estas equações são chamadas equações paramétricas da reta.
Se nenhum dos valores a, b e c forem nulos, podemos isolar t nas equações e, assim, eliminá-lo das equações. Assim, teremos as chamadas equações simétricas da reta:
x x0 y y 0 z z 0
a
b
c
(III)
O vetor R a, b, c determina a direção da reta e os números a, b e c são chamados números diretores da reta. Agora, observe a equação anterior.
No início de nossa discussão dissemos que podíamos utilizar qualquer representante de R .
Qualquer