62 8167100 Estudo da reta copia

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE POÇOS DE CALDAS

Curso: Engenharia Civil – 1°período
Disciplina: Álgebra Linear
Professora: Suelainy Silveira Miquele de Melo
Aluno (a): _______________________________________________

Vetor
Considere um ponto P no plano tendo para coordenadas cartesianas o par ordenados de reais
(a, b)∈ IR 2 . Ou seja, P(a, b).
Y
P

b

0

a

X



Ao ponto P associamos um vetor v tal que OP é um de seus representantes e v = (a, b) ; isto é, o par
 

 ordenado de reais (a, b) são as componentes do vetor v em relação à base canônica B = i , j , sendo i = (1, 0)

Y e j = (0,1).
P
b

{ }

1

0

1

a

X

Assim, para cada posição do plano (ponto P(a, b) ) temos um vetor do espaço vetorial V2 = IR 2 , o vetor

v = ( a, b) .
Analogamente, a cada posição do espaço associamos um vetor do espaço vetorial V3 = IR 3 . Ou seja, sendo P o terno ordenado de reais (a,b,c) são coordenadas do ponto P P e também as componentes do vetor


  

 v = OP em relação à base canônica B = i , j , k , sendo i = (1, 0, 0), j = (0,1,0) e k = (0, 0,1) .

{

}

Z c 1

P

0

1

b

Y

1

a
X

1

RETA
1º) No plano ( IR2 )

Consideremos a reta “r” que passa pelo ponto A( x0 , y0 ) e tem a direção do vetor não nulo v = ( a, b) . r Y

A

X
0

Estes elementos são suficientes para determinar a reta “r” e, portanto, também são suficientes para equacioná-la como veremos a seguir.
Seja P ( x, y ) um ponto qualquer de “r”. ( P é ponto variável sobre “r”). r Y
P
P
P
A
P

X

0


Por construção qualquer vetor AP é paralelo ao vetor v (denominado vetor diretor) . Assim, para cada

ponto P o vetor AP é proporcional ao vetor v , onde o coeficiente de proporcionalidade é a variável real t chamada parâmetro. Assim,

AP = t v , t ∈ IR

ou


P = A + t v , t ∈ IR ou (x, y ) = (x0 , y0 ) + t (a, b),

t ∈ IR

ou

(x, y ) = (x0 + a t,

y 0 + b t ), t ∈ ℜ

! Equação Vetorial da Reta “r”

Daí,

⎧ x = x0 + a t
, t ∈ IR
⎨
y
=
y
+
b t 0
⎩

! Equações Paramétricas da Reta “r”

2

