Matemática e física

NOTAS DE AULA ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA RETAS E PLANOS

ERON E ISABEL

SALVADOR – BA 2007

EQUAÇÕES DA RETA EQUAÇÃO VETORIAL DA RETA DEF: Qualquer vetor não nulo paralelo a uma reta chama-se vetor diretor dessa reta. Sejam v um vetor diretor de uma reta r e A um ponto de r. r X A

v

AX = t v, t ∈ R
Exemplos:

⇔

X = A + t v, t ∈ R

a) Uma equação vetorial da reta que passa pelos pontos A(-5, 2, 3) e B(4,-7,-6) é: X = A + t AB ⇒ (x, y, z) = (-5, 2, 3) + t (9,-9, -9), t ∈ R ou ainda, (x, y, z) = (-5, 2, 3) + t (1,-1, -1), t ∈ R b) As equações vetoriais dos eixos coordenados são X = O + t i , eixo das abscissas X = O + t j , eixo das ordenadas X = O + t k , eixo das cotas

INTERPRETAÇÃO FÍSICA DA EQUAÇÃO VETORIAL

Podemos interpretar a equação X = A + t v como o movimento descrito por um ponto sobre a reta r, com velocidade constante (vetorial) igual a v , t indicando o tempo e A a posição no instante inicial t = 0. Valores negativos de t indicam o “passado” do movimento, em relação ao instante inicial. A cada valor de t temos uma posição bem determinada do ponto móvel e fazendo t percorrer todo o conjunto R, a reta r é percorrida integralmente pelo ponto (r representa a trajetória do movimento). Como há muitos movimentos retilíneos uniformes com a mesma trajetória, fica fácil entender por que existem muitas equações vetoriais para a mesma reta.

ÁLGEBRA VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA

ERON E ISABEL

1

EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DA RETA Seja O, e1 , e2 , e3 um sistema de coordenadas cartesianas no espaço. Consideremos em relação a este sistema: X(x, y, z) um ponto genérico, A(x0, y0, z0) um ponto dado e v = (a, b, c) um vetor diretor da reta r. Escrevendo a equação vetorial da reta em coordenadas, obtemos (x, y, z) = (x0, y0, z0) + t (a, b, c) ou seja,

(

)

 x = x0 + at   y = y0 + bt  z = z + ct 0 

, t∈R

que é o sistema de equações paramétricas da reta r.

Exemplo: As equações paramétricas do eixo