Retas e planos em uma pespectiva vetorial

4 1 RETAS 5 1.1 EQUAÇÃO PARAMÉTRICA DA RETA 5 1.2 Equação de uma reta definida por dois pontos 5 1.3 Equação de segmento de reta 6 1.4 Equação simétrica da reta 6 1.5 Equação reduzida de uma reta 7 1.6 Ângulo formado por duas retas 9 1.7 Retas ortogonais 9 1.8 Posição relativa entre duas retas 10 1.9 Interseção entre duas retas 12 2 PLANOS 13 2.1 Ângulo formado por dois planos 13 2.2 Condição de paralelismo entre planos 14 2.3 CONDIÇÃO DE PERPENDICULARISMO ENTRE PLANOS 16 2.4 ÂNGULO FORMADO POR UMA RETA E UM PLANO 17 2.5 RETA CONTIDA EM PLANO 18 2.6 INTERSEÇÃO DE PLANOS 19 2.7 INTERSEÇÃO ENTRE RETAS E PLANOS 20 2.8 EQUAÇÕES PARAMÉTRICAS DO PLANO 21 CONCLUSÃO 23 REFERÊNCIAS 24 INTRODUÇÃO A Geometria Analítica é uma peça da Matemática, que por meio de métodos particulares, constitui as relações existentes entre a Álgebra e a Geometria. Desse modo, retas, planos, circunferências e até mesmo figuras podem ter suas características analisadas por meio de métodos algébricos. Através de uma pesquisa realizada em relação às retas e planos, com demonstrações de teorias e exemplos, o presente trabalho tem por objetivo, transmitir

2) à reta determinada pelos pontos B(1,1,3) e C(5,3,-1). Resp: 15) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores . Resp: 16) Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1), Resp: B(1,1,-3) e C(-1,-3,0). 17) Determine o valor de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores e , Resp: m=1 ou m=5 , tenha volume . 18) Dois vértices de um triângulo são os pontos A(4,1,4) e B(5,6,1). Achar o vértice C sabendo que…

a) A(0,0,0); B(2,3,0) e C(0,0,5) b) A(2,-1,1); B(2,1,-1) e C(0,3,-5) Obs.: Área do paralelogramo é dado por: ‖ x ‖ 15 Calcule área do paralelogramo definido pelos vetores = 2,3,1 = 1,5, −3 16 Calcule o volume do paralelepípedo definido pelos vetores = 2, −1,1 ; = 1,3,2 = −1,4, −3 17 Determine a equação cartesiana do plano que contem o ponto (1,1,1) e é perpendicular ao vetor (2,-1,8) 18 Escreva a equação…

2) à reta determinada pelos pontos B(1,1,3) e C(5,3,-1). Resp: 15) Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores . Resp: 16) Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1), Resp: B(1,1,-3) e C(-1,-3,0). 17) Determine o valor de m de modo que o tetraedro determinado pelos vetores e , Resp: m=1 ou m=5 , tenha volume . 18) Dois vértices de um triângulo são os pontos A(4,1,4) e B(5,6,1). Achar o vértice C sabendo que…

12 4. PROJEÇÃO DE UM VETOR SOBRE UMA DIREÇÃO DADA 12 5. ÂNGULO DE DOIS VETORES 12 EXERCÍCIOS 12 6. VOLUME DO PARALELEPÍPEDO 13 EXERCÍCIO 13 1 - EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 14 EXERCÍCIOS: 15 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS EM R2 16 EXERCÍCIOS: 17 3– A RETA NO ESPAÇO R3 17 4– POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM R3. 18 EXERCÍCIOS 18 5 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R3 19 6 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R2 20 EXERCÍCIOS:- 20 CAPÍTULO 4 – MUDANÇAS DE COORDENADAS 1 – INTRODUÇÃO 21…

SOBRE UMA DIREÇÃO DADA 12 5. ÂNGULO DE DOIS VETORES 12 EXERCÍCIOS 12 6. VOLUME DO PARALELEPÍPEDO 13 EXERCÍCIO 13 CAPÍTULO 3 - A RETA EM R2 E R3 1 - EQUAÇÃO DA RETA NO PLANO 14 EXERCÍCIOS: 15 2 – PARALELISMO E PERPENDICULARISMO DE RETAS EM R2 16 EXERCÍCIOS: 17 3– A RETA NO ESPAÇO R3 17 4– POSIÇÕES RELATIVAS DE DUAS RETAS EM R3. 18 EXERCÍCIOS 18 5 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R3 19 6 - DISTÂNCIA DE PONTO A RETA EM R2 20 EXERCÍCIOS:- 20 CAPÍTULO 4 – MUDANÇAS DE COORDENADAS…

1 GEOMETRIA ANALÍTICA ESTUDO DO PONTO 1. EIXO ORIENTADO Seja uma reta em que estabelecemos um sentido de orientação ( normalmente, da direita para à esquerda, como na figura abaixo ). À essa reta damos o nome de eixo orientado. Seja um ponto O que chamaremos de origem, relacionado ao número zero. Quando estabelecemos uma unidade de medida, cada ponto A desse eixo estará a uma distância da origem, que será medida pela unidade de medida estabelecida. O número real que nos dá…

Geometria Analítica Prof. Carlos Alexandre Mello cabm@cin.ufpe.br Prof. Carlos Alexandre Barros de Mello cabm@cin.ufpe.br 1 O Plano Sistema de Coordenadas y y’ P Py x’ Considere o par de retas perpendiculares x e y; OA = OA’ = unidade; P = ponto qualquer do plano; A’ 1 1 O A Px x Por P, podemos traçar as retas x’ (paralela a x) e y’ (paralela a y), sendo essas retas as únicas possíveis. x’ e y’ interceptam x e y nos pontos Px e…

CAPÍTULO 1 Vetores Descrição do capítulo 1.1 Vetores em duas dimensões 1.2 Vetores em três dimensões 1.3 Produto escalar 1.4 Produto vetorial 1.5 Retas e planos em três dimensões 1.6 Espaços vetoriais 1.7 Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt Exercícios de revisão Sem dúvida você já se deparou com a notação de vetores em seus estudos de cálculo, assim como na física e na engenharia. Para a maioria de vocês, então, este capítulo é uma revisão de tópicos familiares,…

UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS Centro de Engenharias - CENG Disciplina: Vetores e Álgebra Linear Professora: Ana Cristina Pinto Código : 1410003 Créditos: 3 Semestre: 2014/02 Curso: CENG Notas de Aula VETORES, R ETAS E P LANOS 1 VETORES OBS: TEXTO – BASE – RECORTES DO Material da Profa. Rejane Pergher- IFM 1.1 SEGMENTO DE RETA ORIENTADO Um segmento de reta orientado AB é determinado por um par ordenado de pontos AB, onde A é chamado de origem e B de extremidade. Geometricamente é…