Resumo Geometria Euclidiana - Cap 1 - 5

Resumo Geometria Euclidiana
Dmitry Rocha
31 de maio de 2014

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Axioma de Incidência e de Ordem

I. Axioma de Incidência
Axioma I1 Existem pontos que pertencem ou não a reta;
Axioma I2 Dados dois pontos existe uma única reta que os contém;
Proposição 1.1 Duas retas distintas ou não se interceptam num único ponto.
Intersecção de reta: ou é um único ponto ou é vazio

II. Axioma de Ordem
Axioma II1 Dados 3 pontos distintos de uma reta um e apenas um deles localiza-se entre os outros dois. Definição 1.2 O conjunto constituído por dois pontos A e B e por todos os pontos que se encontram entre A e B é chamado de segmento de reta AB. Os pontos A e B são denominados extremos do segmento.
Definição 1.3 Se A e B são pontos distintos, o conjunto constituído pelos pontos do segmento
AB e por todos os pontos C tais que B encontra-se entre A e C, é chamado de semi-reta de origem A contendo o ponto B, representado por SAB . O ponto A é denominado origem da semi-reta SAB .
Proposição 1.4 Para as semi-retas determinada por dois pontos A e B temos:
1. SAB ∪ SBA é a reta determinada por A e B;
2. SAB ∩ SAB = AB.
Axioma II2 Dados dois pontos distintos A e B sempre existem um ponto C entre A e B e um ponto D tal que B está entre A e D.
Quaisquer dois pontos existem uma infinidade de pontos entre eles
Definição 1.5 Sejam m uma reta e A um ponto que não pertence a m. O conjunto constituído pelos pontos de m e por todos os pontos B tais que A e B estão num mesmo lado da reta m é chamado de semiplano determinado por m contendo A, representado por PmA .
Aximoma II3 Uma reta m determina exatamente dois semiplanos distintos cuja interseção é a reta m.

Ponto A, B, C, . . .
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Reta a, b, c, . . .
Segmento de reta Dados dois pontos distintos A e B numa reta r, o conjunto de todos os pontos de r, entre A e B é dito segmento de reta. Exemplo: AB.
Semi-reta Dados uma reta r e um ponto P sobre r, cada uma das partes de r, constituídas pelo ponto P e todos os