Integrais de linha

´ UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIAS Instituto de Matem´tica e Estat´ a ıstica - IME
Eduardo Arbieto Alarcon

TEORIA COMPLEMENTAR

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Campos Gradientes

Em certos casos, para determinar a priori se um campo ´ conservativo ou n˜o, ´ util a seguinte propriedade: e a e´ ⃗ Teorema 1 Seja U um conjunto aberto de Rn e F : U ⊂ Rn → Vn um campo vetorial de classe C 1 (U ). ⃗ Nestas condi¸˜es, se U for simplesmente conexo e rot F = ⃗ ent˜o F ser´ uma campo gradiente, isto ´, co 0 a ⃗ a e ⃗ existe ϕ : U → R de classe C 1 (U ) tal que ∇ϕ = F . ) x y , , 0 definido no (x2 + y 2 )2 (x2 + y 2 )2 ⃗ e 0, ca aberto U = R3 − {(0, 0, z) : − ∞ < z < +∞} ´ uma campo fechado rot F = ⃗ com fun¸˜o potencial 1 1 ψ(x, y, z) = − em U , embora U n˜o seja simplesmente conexo. a 2 x2 + y 2 Por outro lado o teorema (1) pode determinar quando um conjunto n˜o ´ simplesmente conexo. a e ( ) z x ⃗ Por exemplo, o campo G = − 2 e , y, 2 definido em U = R3 − {(0, y, 0) : y ∈ R}, ´ fechado x + z2 x + z2 ⃗ 0), (rot G = ⃗ mas n˜o ´ conservativo, ent˜o U n˜o pode ser simplesmente conexo. a e a a ⃗ Mas a rec´ ıproca n˜o vale, por exemplo o campo vetorial F = a No caso de subconjuntos em Rn , para n ≥ 3, o seguinte teorema caracteriza os conjuntos simplesmente conexo: Teorema 2 O complementar de todo conjunto fechado K ⊂ Rn , n ≥ 3, de dimens˜o k, 0 ≤ k ≤ n − 3 ´ a e simplesmente conexo. Por exemplo, seja um ponto de P ∈ Rn n ≥ 3, o conjunto {P } ´ um conjunto fechado de dimens˜o 0, logo e a pelo teorema U = Rn − {P } ´ simplesmente conexo. e Sejam P0 ∈ R4 e ⃗ ∈ V4 um vetor em R4 , o conjunto v L = {P0 + t ⃗ : − ∞ < t < +∞} , v ´ um conjunto fechado de dimens˜o 1, logo R4 − L ´ simplesmente conexo. e a e (