Integral de linha

Integral de Linha
As integrais de linha podem ser encontradas em inúmeras aplicações nas Ciências Exatas, como por exemplo, no cálculo do trabalho realizado por uma força variável sobre uma partícula, movendo-a de um ponto A a um ponto B no plano. Na Termodinâmica, uma integral de linha é utilizada, por exemplo, para calcular o trabalho e o calor desenvolvido numa transformação qualquer.
Nesta seção iremos introduzir o conceito de integração ao longo de uma curva C. Essa integral é denominada de integral de linha, muito embora o nome “integral de curva” pudesse ser mais adequado. Vamos aprender a trabalhar com integrais de linha de uma função de duas variáveis e de um campo vetorial no plano. O raciocínio desenvolvido aqui é análogo para funções de três variáveis e campos vetoriais no espaço.
Vamos iniciar nosso estudo com as integrais de linha de uma função de duas variáveis. Denominamos de integral de linha escalar, a integral de uma função f  x, y  ao longo de uma curva C e a denotamos por

 f  x, y  ds , onde ds

é uma quantidade infinitesimal (muito pequena) da curva C. A curva C é chamada o

C

caminho da integração.
Vamos entender melhor o conceito de integral de linha. Iremos utilizar a notação P  t    x  t  , y  t   , para denotar um caminho (uma curva) no plano cartesiano R2. Podemos pensar em P  t  como sendo um ponto (em movimento), como função do tempo t, descrevendo uma curva C no plano, para a  t  b.

Para calcular uma integral de linha, é necessário conhecer a equação da curva C, a qual pode ser dada na forma cartesiana ou paramétrica. A forma cartesiana é mais utilizada, quando a curva C é o gráfico de uma função y  g  x  . Já a forma paramétrica, abrange o caso geral, tanto para gráficos de função ou não.

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Em ambos os casos, uma integral de linha escalar,

 f  x, y  ds , pode ser transformada em uma integral
C

simples de uma função de uma variável. Para isso, basta restringirmos os