Integrais de Linha
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INTEGRAIS DE LINHA DE CAMPO VETORIALConsidere o campo vetorial dado pela função vetorial
F(x, y) = ( M(x, y), N(x, y) ) ou F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) ) contínua em uma região D do espaço 2D ou 3D, respectivamente.
Sabemos que M, N e P são funções escalares de duas ou três variáveis, contínuas em D, das quais podemos calcular integrais de linha em relação à x, y ou z ao longo de uma curva limitada C, suave ou parcialmente suave e parametrizada pela função vetorial dada por r(t) = ( x(t), y(t) ) ou r(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) com t ∈ [a, b].
Como já dissemos estas integrais geralmente aparecem em conjunto.
∫
Por exemplo, C M
( x, y ) dx + ∫ N ( x, y ) dy
C
∫ M ( x, y ) dx
que escrevemos simplesmente
+ N ( x, y ) dy
C
.
Assim,
∫ M ( x, y ) dx
+ N ( x, y ) dy
C
=
b
=
∫ M ( x(t ), y (t ) ) x' (t ) dt
+ N ( x (t ), y (t ) ) y ' (t ) dt
=
a
b
=
∫[ M ( x(t ), y (t ) ) x' (t )
+ N ( x (t ), y (t ) ) y ' (t ) ] dt
=
a
b
=
∫ ( M ( x(t ), y (t ) ),
N ( x (t ), y (t ) ) ) . ( x' (t ), y ' (t ) ) dt
=
a
b
=
∫ ( M(r(t)), N(r(t))) . r´ (t)dt = a b
=
∫ F (r (t) ) . r´ (t)dt =
Produto escalar de vetores
a
∫
= C F . dr
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d dt pois, de r(t) = ( x(t), y(t) ) vem que
r = r´ (t) = ( x’(t), y’(t) ),
de
onde dr = r´ (t) dt = ( x’ (t), y’ (t) ) dt = ( x’(t) dt, y’(t) dt ) = (dx, dy).
Assim,
∫ M ( x, y ) dx
C
+ N ( x, y ) dy =
∫
C
F . dr
é a integral de linha do campo
vetorial F(x, y) = ( M(x, y), N(x, y) ) ao longo da curva C.
Análogamente, de
r(t) = ( x(t), y(t), z(t) )
temos
d dt r = r´ (t) =
= ( x’(t), y’(t), z’(t) ), de onde dr = r´ (t) dt = ( x’(t), y’(t), z’(t) ) dt =
= ( x’ (t) dt, y’ (t) dt, z’(t) dt ) = (dx, dy, dz). Também,
∫ M ( x, y, z ) dx
C
+ N ( x, y , z ) dy +P ( x, y , z ) dz =
∫
C
F . dr é
a
integral de linha do campo vetorial