Integral de linha

Introdução
O integral de linha é uma generalização natural do integral definido em que o intervalo [a, b] é substituído por uma curva e a função integrada é um campo escalar ou um campo vetorial definido e limitado nessa curva.
Os integrais de linha são de uma importância fundamental em inúmeras aplicações, nomeadamente, em ligação com energia potencial, fluxo do calor, circulação de fluídos, etc.
No que se segue começaremos por apresentar a definição de integral de linha. Depois de enunciarmos as propriedades fundamentais do integral de linha. Definição de integrais de linha
Para tornar mais clara a definição de integral de linha tenha-se em atenção o que segue. Seja C uma curva do plano unindo dois pontos A e B, definida parametricamente por um caminho g : [a, b] → IR2 seccionalmente de classe
C1. Considerem-se em C os pontos A = P0, P1, ..., Pi−1, Pi, ..., Pn = B, correspondentes a uma partição do intervalo [a, b], Isto é, tais que Seja ainda ϕ um campo escalar contínuo definido num domínio D ⊂ IR2 contendo a curva C e suponhamos que aquela função é positiva em D, ou seja, ϕ(x, y) ≥ 0, ∀(x, y) ∈ D. (Ver figura 5).

Figura 1

Considere-se agora a soma é comprimento do arco é um ponto arbitrário escolhido neste arco. Como a figura 2 mostra, é a área de uma “faixa” com base no plano XOY e altura . É então evidente que constitui uma aproximação da área da superfície cilíndrica S de diretriz C e geratriz e geratriz paralela ao eixo OZ situada entre o plano XOY e o gráfico de ϕ. Intuitivamente é fácil aceitar que, no caso de existir e ser finito o limite de quando , esse limite deverá coincidir com a área de S. Ora, caso não dependa da decomposição de [a, b] nem da escolha dos , esse limite é precisamente o integral de linha de ϕ sobre a curva C relativamente ao comprimento de arco s. Este integral é designado habitualmente por integral de linha de 1a espécie e representa-se por , isto é,

Figura 2