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Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística
Concurso Público – Edital 03/2008
Prova discursiva
Área de conhecimento de Estatística
Questão 1 (valor: 10 pontos): Em um teste de múltipla escolha, a probabilidade de um aluno saber a resposta é p. Havendo m escolhas, se ele sabe a resposta ele responde corretamente com probabilidade 1; se não sabe, ele responde corretamente com
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. probabilidade m
a) Dado que a pergunta foi respondida corretamente, qual a probabilidade que ele soubesse a resposta?
b) Calcule o limite da probabilidade obtida no item a) quando m → ∞ com p fixo. De forma sucinta e clara, interprete o resultado obtido.

Questão 2 (valor: 15 pontos): O número de acidentes que ocorrem em uma certa fábrica em uma semana é uma variável aleatória com média µ e variância σ2. Os números de indivíduos feridos nos diferentes acidentes são independentes e identicamente distribuídos com média ξ e variância τ2 e são independentes do número de acidentes. Determine a média e a variância do número de indivíduos feridos em uma semana. Questão 3 (valor: 10 pontos): Suponha que Xn tem distribuição binomial com parâmetros (n, pn), e suponha que npn = λn → λ > 0 . Prove, usando função característica, que Xn converge em distribuição para X com distribuição de Poisson com n ⎛ a ⎞ parâmetro λ. (Nota: Supondo que an → a então ⎜1 + n ⎟ → e a ). n ⎠
⎝

Questão 4 (valor: 15 pontos): Suponha que X tenha distribuição simétrica e suponha ainda que existam todos os momentos necessários.
a) Mostre que X e X 2 são dependentes, porém não correlacionadas.

b) Ache a distribuição conjunta de X e X 2 se a distribuição de X estiver concentrada nos pontos 0, ± 1, ± 2, ± 3 com probabilidades 1 .
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c) Prove que X e f(X) são não correlacionadas se f for par.

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Questão 5 (valor: 10 pontos): Seja X uma variável aleatória com valores x = −1, 0, 1 e tendo função de probabilidade f ( x;θ ) , definida para cada θ = 0, 1, 2