Determinantes

Universidade Estácio de Sá
Campus Niterói

Álgebra Linear
Turma 3119

PROPRIEDADE DAS DETERMINANTES

Aluno: Renan de Azeredo Lima
Matricula: 20140243842-7

27/04/2015
Determinantes
Definição
1. Se A é uma matriz n, diz-se que um produto de n entradas de A, tais que não há duas de mesma linha ou mesma coluna de A, é um produto elementar da matriz A.
Seja
com seus respectivos produtos elementares.
Produto Elementar Inversões
Par ou Impar
Prod. Elem. c/ sinal a1 b2 c3
0
par a1 b2 c3 a1 b3 c2
1
impar a1 b3 c2 a2 b1 c3
1
impar a2 b1 c3 a2 b3 c1
2
par a2 b3 c1 a3 b1 c2
2
par a3 b1 c2 a3 b2 c1
3
impar a3 b2 c1
Definição
2. Se A é uma matriz n, define-se o determinante de A (det A) como o número real obtido da soma de todos os produtos elementares com sinal de A.
Corolário da Definição. O calculo do determinante de uma matriz n envolve uma soma de n parcelas, onde cada parcela é formada por um produto de n fatores.
Além disso o conhecimento da estrutura aritmética do cálculo do determinante torna muito simples a compreensão de suas propriedades. Como segue.
Propriedades dos Determinantes.
O estudo das propriedades, entre outras vantagens, proporciona um atalho para a obtenção dos determinantes, considerando o grande volume de operações necessárias para sua obtenção.
As demonstrações feitas para matrizes 3 x 3 podem ser generalizadas para o caso n.
Serão usadas as seguintes convenções simbólicas:

Assim as linhas da matriz são “vistas” como vetores
Propriedade
1. O determinante muda de sinal quando se trocam as posições de duas quaisquer de suas linhas. Em símbolos, tem-se: det (u, v, w) =  det (v, u, w)
Demonstração
A passagem de det (u, v, w) para (v, u, w) faz-se trocando em cada parcela os índices 1 e 2 de posição e deixando 3 fixo. Isto acarreta a passagem da permutação de par para impar e vice-versa, pois acrescentará uma unidade de inversão a permutação. Assim det (u, v, w) =  det (v, u, w)
É evidente que o resultado é válido para