calculo integral

Aplicação de integral para cálculo de volume
1. Volume de um sólido quando é conhecida a área de qualquer secção transversal. PROBLEMA 1
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de uma pirâmide reta de base quadrada - sendo b a medida da aresta da base e h a altura da pirâmide - é .
RESOLUÇÃO
Colocando o sistema de eixos de modo que o eixo y seja perpendicular à base da pirâmide reta, passando pelo centro, temos:

Para cada corte transversal na altura , temos que a secção obtida é um quadrado, paralelo à base, cuja área é .
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí ou seja, a área de cada secção transversal é .
Logo, o volume da pirâmide é dado por:

PROBLEMA 2
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cilindro reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é .
RESOLUÇÃO
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no centro da base do cilindro e o eixo x seja perpendicular à base do cilindro, temos:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é .
Logo, o volume do cilindro é dado por:

PROBLEMA 3
Usando o Cálculo Integral, mostre que o volume de um cone reto, de altura h e cuja base é um círculo de raio r, é .

RESOLUÇÃO
Colocando o sistema de eixos de modo que a origem do sistema esteja no vértice do cone e o eixo x seja perpendicular à base do cone, temos:

Para cada corte transversal na altura x, temos que a secção obtida é um círculo, paralelo à base, cuja área é .
Examinando o corte longitudinal ao lado, por semelhança de triângulos, podemos escrever: e daí ou seja, a área de cada secção transversal é .
Logo, o volume do cone é dado por:
.

2. Volume de um sólido de revolução, obtido pela rotação em torno ao eixo x - ou y - de um conjunto A.

Seja f uma função contínua num intervalo , sendo para todo x, tal que . Consideremos o conjunto A,