calculo diferencial

Disciplina: Cálculo Diferencial I

Aula 07: Limite, Continuidade, Derivadas Parciais e Diferenciabilidade

Questão 01
Encontrar os vetores tangentes às curvas paramétricas da imagem da função dada no ponto indicado. E faça uma figura mostrando as curvas que contém o ponto e os vetores tangentes:
a) 3. H(u, v)  (2 cos u, 2 sen u, v) e Q( 2 , 2 , 2);
Solução:
Inicialmente, encontraremos o ponto no domínio H cuja imagem corresponde a (√2, √2, 2), por isso devemos associar cada coordenada de H(u,v)=(2cosu,2senu,v) respectivamente a imagem.
2 = √2 ⇔ =
√2
; 2 = √2 ⇔ =
2
√2 ; v = 2;
2
Como senu e cosu são positivos, o ângulo u está no 1º quadrante. Logo u = Portanto, temos o ponto domínio , 2 . Devemos encontrar os vetores tangentes às curvas “u-parâmetro” e “v-parâmetro”. No primeiro, v será tratado como constante, e no segundo a constante será u. ( , ) = 2 , 2 , = (−2 , 2 , 0)
√2 √2 4 , 2 = −2 4 , 2 4 , 0 = −2.
, 2.
2
, 0" = #−√2, √2, 0$
2

% ( , ) = 2 , 2 , = (0,0,1) % 4 , 2 = (0,0,1)
As curvas u-parâmetro e v-parâmetro, são obtidas fixando a uma das variáveis, mantendo as outras fixas na respectiva imagem. (pág.71). Curva u-parâmetro ( , 2) = ( 2 cos , 2 , 2) = ( 2 cos , 2 , 2)
Curva v-parâmetro

, = 2 cos
4 4 , 2
4
, = # −√2, √2, $ b) 5. J(u, v, w)  (u cos v, u sen v, w ) e Q( 2 , 2 , 2);
Solução:
Inicialmente, encontraremos o ponto no domínio J cuja imagem corresponde Q(√2, √2, 2), por isso devemos associar cada coordenada de J(u,v)=(ucosv,usenv,w) respectivamente a imagem. = √2; = √2 ; w = 2;
+
( )+ + ( )+ = #√2$
+
+ #√2$
⇒ + cos+ + + + = 2 +