Geometria

O sentido oposto sobre a reta r é denominado negativo. Fig. 2: Escolha de um sentido de percurso na reta r . Sejam A e B pontos na reta r . Dizemos que o ponto B está à direita do ponto A (ou que A está à esquerda de B) quando o sentido de percurso de A para B coincide com o sentido positivo escolhido na reta r. Fig. 3: B está à direita de A na reta orientada r . Um eixo E é uma reta orientada na qual é fixado um ponto O, chamado origem. Fig. 4: Origem O escolhida no eixo E. IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Geometria Analítica - Capítulo 1 3 Todo eixo E pode ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dos números reais R da seguinte maneira: E ← R → • à origem O do eixo faz-se corresponder o número zero. • a cada ponto X de E à direita de O corresponde o número real positivo x = d(O, X). • a cada ponto X de E à esquerda de O corresponde o número real negativo x = −d(O, X). O número real x, correspondente ao ponto X, é chamado a coordenada do ponto X. Fig. 5: Coordenada de um ponto X do eixo E em relação à origem O. Proposição 1 Sejam X e Y dois pontos sobre o eixo E com coordenadas x e y respectivamente. Então, d(X, Y ) = |y − x| = |x − y|. Prova. Se X = Y , não há o que provar. Suponhamos que X = Y . Para fixar as idéias, vamos assumir que X está à esquerda de Y , isto é, x < y. Temos três casos a considerar: Caso 1. X e Y estão à direita da origem. Isto é, 0 < x < y. Fig. 6: Caso 1: 0 < x < y. Como X…

Objetivos • Definir os sistemas ortogonais de coordenadas cartesianas no espa¸o. c • Localizar pontos no espa¸o a partir das suas coordenadas cartesianas. c Nesta aula, definimos e manipulamos os sistemas de coordenadas no espa¸o, de maneira an´loga as coordenadas no plano que vocˆ estudou na c a ` e Aula 13, do M´dulo 2, do Pr´-C´lculo. o e a Para vocˆ ficar mais ` vontade na e a discuss˜o que abordaremos a seguir, imaa gine uma pequena bola, que designamos pela…

AULA 1 Aula 1 – Coordenadas no espa¸ co Objetivos • Definir os sistemas ortogonais de coordenadas cartesianas no espa¸co. • Localizar pontos no espa¸co a partir das suas coordenadas cartesianas. Nesta aula, definimos e manipulamos os sistemas de coordenadas no espa¸co, de maneira an´aloga a`s coordenadas no plano que vocˆe estudou na Aula 13, do M´odulo 2, do Pr´e-C´alculo. Para vocˆe ficar mais a` vontade na discuss˜ao que abordaremos a seguir, imagine uma pequena bola, que designamos…

ao 2 2 Coordenadas na Reta 2.1 Reta Orientada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Eixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 2 3 Coordenadas no Plano 3.1 Posi¸c˜ ao de um ponto em rela¸ca˜o ao sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Bissetriz dos quadrantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .…

número real. Exemplos de variáveis unidimensionais:tempo cronológico,temperatura e "elevadores"... Duas dimensões:a qualquer ponto no plano cartesiano corresponde um par ordenado de números reais- a abcissa e a ordenada. A estes números chamamos coordenadas do ponto.Também a qualquer par ordenado de números reais corresponde um ponto do plano. Referênciais podem ser ortogonais ou não-ortogonais, neste caso o do exemplo acima é um referêncial cartesiano ortogonal. Referências podem…

No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y'). A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é definida…

Seno: No plano cartesiano, consideremos uma circunferência trigonométrica, de centro em (0,0) e raio unitário. Seja M=(x',y') um ponto desta circunferência, localizado no primeiro quadrante, este ponto determina um arco AM que corresponde ao ângulo central a. A projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OX determina um ponto C=(x',0) e a projeção ortogonal do ponto M sobre o eixo OY determina outro ponto B=(0,y'). A medida do segmento OB coincide com a ordenada y' do ponto M e é…

dá pela utilização de um sistema de projeção: cônica, cilíndrica oblíqua ou cilíndrica ortogonal. A perspectiva representa graficamente as três dimensões de um objeto em um único plano, com o objetivo de transmitir a idéia de largura, altura e profundidade. Existem diferentes tipos de perspectiva. Na Figura 47 é mostrada como ficaria a representação de um cubo em três tipos diferentes de perspectiva. Cada tipo de perspectiva mostra o objeto de uma forma. Figura 47 – Representação…

Aula 23 1. Exemplos diversos Exemplo 1 Determine a equação da hipérbole equilátera, H, que passa pelo ponto Q = (−1, −5) e tem os eixos coordenados como assíntotas. Solução. Como as assíntotas da hipérbole são os eixos coordenados e a reta focal é uma das bissetrizes das assíntotas, temos que : x = −y ou : x = y. Fig. 1: Caso : x = −y. Fig. 2: Caso : x = y. Se a reta focal fosse a reta x = −y, a hipérbole estaria inteiramente contida no 2o e 4o quadrantes, o que é um absurdo, pois…

e Quádricas Trabalho disciplina de apresentado calculo vetorial à e geometria analítica afim de obter a ultima nota referente ao decorrente período. São Luís 2014 SUPERFÍCIE ESFÉRICA E QUÁDRICAS Não distinguindo do estudo das cônicas, as Superfície Esférica e Quádricas são bem semelhante às essas primeiras, a principal diferença é que em vez de estarem presentes no plano R2 (x,y), agora estão contidas no espaço R3(x,y,z), e a presença dessa nova…