Exexercícios Cõnicas Genéricas

Aula 23

1.

Exemplos diversos

Exemplo 1
Determine a equação da hipérbole equilátera, H, que passa pelo ponto Q = (−1, −5) e tem os eixos coordenados como assíntotas.
Solução.
Como as assíntotas da hipérbole são os eixos coordenados e a reta focal é uma das bissetrizes das assíntotas, temos que : x = −y ou : x = y.

Fig. 1: Caso : x = −y.

Fig. 2: Caso : x = y.

Se a reta focal fosse a reta x = −y, a hipérbole estaria inteiramente contida no 2o e 4o quadrantes, o que é um absurdo, pois o ponto Q = (−1, −5), pertencente à hipérbole H, está no 3o quadrante. Logo, : x = y.
Além disso, o centro C da hipérbole, ponto de intersecção das assíntotas, é a origem. Então, seus focos são da forma F1 = (−m, −m) e F2 = (m, m), para algum m ∈ R, m > 0.
Como c = d(F1 , C) = d(F2 , C), c2 = a2 + b2 e a = b, já que a hipérbole é equilátera, temos que: a2 + a2 = c2 = m2 + m2 ,

ou seja,

Assim, um ponto P = (x, y) pertence à hipérbole H se, e só se,

a = m.

Geometria Analítica - Aula 23

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(x + m)2 + (y + m)2 −
⇐⇒

(x − m)2 + (y − m)2 = 2m

(x + m)2 + (y + m)2 = ±2m +

(x − m)2 + (y − m)2

⇐⇒ (x + m)2 + (y + m)2 = 4m2 + (x − m)2 + (y − m)2 ± 4m

(x − m)2 + (y − m)2

⇐⇒ x2 + 2mx + m2 + y2 + 2my + m2 = 4m2 + x2 − 2mx + m2 + y2 − 2my + m2
±4m

(x − m)2 + (y − m)2

⇐⇒ 2mx + 2my = 4m2 − 2mx − 2my ± 4m
⇐⇒ 4mx + 4my = 4m2 ± 4m
⇐⇒ x + y = m ±

(x − m)2 + (y − m)2

(x − m)2 + (y − m)2

(x − m)2 + (y − m)2

⇐⇒ x + y − m = ± (x − m)2 + (y − m)2
⇐⇒ (x + y − m)2 = (x − m)2 + (y − m)2
⇐⇒ x2 + y2 + 2xy + m2 − 2mx − 2my = x2 − 2mx + m2 + y2 − 2my + m2
⇐⇒ 2xy = m2
⇐⇒ xy =

m2
.
2

Como Q = (−1, −5) ∈ H, temos que

m2
= (−1)(−5), isto é, m2 = 10. Logo, xy = 5 é a equação
2

da hipérbole H.

Exemplo 2
1
2

Seja C uma cônica centrada no ponto C = (1, 2), de excentricidade e = , reta focal paralela ao eixo−OX e d(F, L) = 3, onde L é a diretriz correspondente ao foco F de C.
Classifique a cônica e determine seus vértices, seus focos, suas diretrizes e sua equação.
Solução.
1
< 1. Então,
2
a a a
3a
3