Análise real

Se X ⊂N é um subconjunto tal que 1 ∈X e, se n∈X ⟹ s(n)∈ X, então X = N. Definição da soma: m + n = sn(m) ou, em outras palavras: m + 1 = s(m), m + s(n) = s(m + n) Definição de produto: m.1 = m e m.(n + 1) = (fm)n(m), onde f é a função “somar m", definida por f: N→N, fm(p) = p + m. Teorema 1. (Princípio da boa ordenação). Todo subconjunto A⊂N, A≠∅ possui um elemento mínimo. Ideia da demonstração: Considere o conjunto X formado pelos elementos n tais que In ⊂ N -A. Teorema 2. (Segundo Princípio de Indução). Seja X⊂N um conjunto com a seguinte propriedade: dado n ∈N, se X contem todos os números naturais m tais que m < n, então n ∈ X. Nestas condições, X = N. Ideia da demonstração: Considere Y = N- X, e mostre por absurdo que Y = ∅. Teorema 3. Seja A ⊂ In. Se existir um bijeção f: In→ A, então A = In. Ideia da demonstração: Indução em n. Supondo válido para n, considere uma bijeção f : In+1 → A, pondo f(n+1) = a. Tome restrição de f a In. Corolário 1. Se existir uma bijeção f: Im→ In, então m = n. Consequentemente, se existem duas bijeções ψ: In → X e φ: In → X, deve-se ter m = n. Ideia da demonstração: Suponha, sem perda de generalidade, m ≤ n. Corolário 2. Não pode existir um bijeção f: X→ Y, de um conjunto finito X sobre uma parte própria Y⊂ X. Ideia da demonstração: Basta fazer um gráfico. É fácil de ver. Teorema 4. Se X é um conjunto finito, então todo subconjunto Y ⊂ X é finito. O número de elementos de Y não excede o de X e só é igual…

possuem mesma imagem. Exemplo: Mostre que a função f(x)=x²-4 não é injetiva. Para mostrarmos que uma função não é injetiva, basta encontrarmos dois valores distintos para x, de forma que a imagem seja igual: Façamos x1= 2 e x2= -2. Portanto, temos que f(2) = f(-2), com isso f(x) não é injetora. FUNÇÃO SOBREJETIVA As funções trabalham a transposição de um elemento de um determinado conjunto para outro conjunto. Diante desse fato, é possível analisar os elementos dos…

1.6.5. Funções-potência: São as definidas por f ( x )  x n onde , um n° racional constante. né Quando n é inteiro positivo, a função potência é um caso particular da função polinomial e a forma geral de seu gráfico depende essencialmente de n ser par ou ímpar. f ( x )  x n é uma Assim, quando n é inteiro positivo par, a função função par ( f ( x )  f ( x ) , x ) e seu gráfico será, em linhas 2 gerais, similar ao gráfico da função f ( x )  x . f ( x)  x 2 f (…

conjuntos não vazios, uma aplicação f no produto cartesiano A×B é uma relação em A×B, que, para cada xinA, existe yinB tal que (x,y)inf, fig e, além disso, se (x,y1)inf e (x,y2)inf, então y1=y2. fig Uma notação bastante comum para uma aplicação f definida no produto cartesiano A×B é f:AtoB. Observação: O primeiro ítem da definição acima declara que todos os elementos de A devem estar relacionados com elementos de B e o segundo ítem garante que um elemento de A deve estar…

injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, a função (a) que a cada dois números naturais associa seu mdc; (b) que a cada vetor do plano associa seu módulo; (c) que a cada matriz 2 × 2 associa sua matriz transposta; (d) que a cada matriz 2 × 2 associa seu determinante; (e) que a cada polinômio (não nulo) com coecientes reais associa seu grau; (f) que a cada gura plana fechada e limitada no plano associa a sua área; (g) que a cada subconjunto de R associa seu complementar; (h) que a…

- Admitindo as duas hipóteses, se X A B então haverá um conjunto Y = A B tal que : YA e Y B e, no entanto, Y não contêm X ... o que contradiz a segunda hipótese. Assim, necessariamente devemos ter X = A B. 1.2 – Seja X um conjunto tal que : 1) X A e X B 2) Se Y A e Y B então Y X Prove que X = AB Admitindo as duas hipóteses, se XAB então haverá um conjunto Y = AB tal que : Y A e Y B e, no entanto, Y X ... o que contradiz a segunda hipótese. Assim, necessariamente…

2) Sejam f(x) = x2 - 2x e g(x) = x - 1 duas funções definidas em IR. Qual dos gráficos melhor representa f(g(x))? Solução. f(g(x)) = f(x – 1) = (x – 1 )2 – 2(x - 1) f(g(x)) = x2 – 2x +1 – 2x + 2 = x2 – 4x +3 f(g(x)) = (x – 3).(x – 1). Esse produto é nulo se x = 3 ou x = 1. Calculando f(g(0)) = 1. Observando os gráficos o que representa esse ponto (0,1) com a concavidade para cima (a > 0) e as raízes no eixo positivo é o da letra (a). 3) A função cujo gráfico está…

2) Sejam f(x) = x2 - 2x e g(x) = x - 1 duas funções definidas em IR. Qual dos gráficos melhor representa f(g(x))? Solução. f(g(x)) = f(x – 1) = (x – 1 )2 – 2(x - 1) f(g(x)) = x2 – 2x +1 – 2x + 2 = x2 – 4x +3 f(g(x)) = (x – 3).(x – 1). Esse produto é nulo se x = 3 ou x = 1. Calculando f(g(0)) = 1. Observando os gráficos o que representa esse ponto (0,1) com a concavidade para cima (a > 0) e as raízes no eixo positivo é o da letra (a). 3) A função cujo gráfico está…

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Nota do Editor. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Aula 1 Conjuntos e funções. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1 A definição de conjunto. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.2 Operações sobre conjuntos. . .…

1)Dada a função , definida pela fórmula f(x)=2x²+1. Determine a sua imagem: 2) Considere três funções f, g e h, tais que: A função f atribui a cada pessoa do mundo, a sua idade. A função g atribui a cada país, a sua capital A função h atribui a cada número natural, o seu dobro. Podemos afirmar que, das funções dadas, são injetoras: a) f, g e h b) f e h c) g e h d) apenas h e) nenhuma delas 3) Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B? a) b) …