soluções de análise

1.1 - Admitindo as duas hipóteses, se X A B então haverá um conjunto Y = A B tal que : YA e Y B e, no entanto, Y não contêm X ... o que contradiz a segunda hipótese. Assim, necessariamente devemos ter X = A B.

1.2 – Seja X um conjunto tal que :
1) X A e X B
2) Se Y A e Y B então Y X
Prove que X = AB

Admitindo as duas hipóteses, se XAB então haverá um conjunto Y = AB tal que : Y A e Y B e, no entanto, Y X ... o que contradiz a segunda hipótese. Assim, necessariamente devemos ter X = AB.

1.3 - Supondo AB = então, dado A, temos que B => CB=> ACB. Reciprocamente, se ACB então A, CB => B => AB=.

Supondo AB = E então, se CA B, CA / B => / A e B => ABE ... absurdo ! Assim : CA B. Reciprocamente, se supormos CA B, dado E, temos duas possibilidades : ou A => AB, ou A => CA => B => AB. Nos dois casos, E => AB. Logo, E AB. Como, além disso, por hipótese, A,B E segue que AB = E

1.4 - Supondo AB, dado B, com mais forte razão, A. Assim, CB ( B ) implica A, isto é : ACB = . Reciprocamente, se ACB = , dado A. Temos que CB => B. Logo : AB.

1.5 - A = {1}, B = {2} e C = {3}. Temos que : (AB)C = e A(BC) = {1}

1.6 - Se supormos que XCA, então uma de duas coisas possíveis está ocorrendo : Ou X / CA => X / A => AX ... absurdo ! Ou CA / X => A / X => AX E ... absurdo ! Assim, vemos que sob quaisquer das possibilidades chegamos a um absurdo. Logo, a nossa tese é insustentável e somos obrigados a admitir que X = CA.

1.7 - Sabemos que B(AC) = (BA)(BC). Se A B então BA=A e teremos (BA)(BC) = A(BC) = (BC)A. Ou seja : B(AC) = (BC)A. Reciprocamente, se B(AC) = (BC)A => (BA)(BC) = A(BC) => BA = A. Logo, A B

1.8 - Supondo A = B, claramente que CA= CB. Logo : ACB = ACA = e CAB = CBB = . Assim, (ACB) (CAB) = = . Reciprocamente, se supormos que (ACB) (CAB) = então ACB = e CAB = isto é : AB e BA => A = B.

Seja (A - B)(B - A) => (A - B) ou (B - A). No primeiro caso, A e B => AB e AB ; no segundo, B