MA 11 02

Sociedade Brasileira de Matemática
Mestrado Prossional em Matemática em Rede Nacional

MA11  Números e Funções Reais
Unidade 3  Funções
Exercícios

Exercícios Recomendados
1.

Em cada um dos itens abaixo, dena uma função com a lei de formação dada (indicando domínio e contradomínio). Verique se é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva, a função
(a) que a cada dois números naturais associa seu mdc;
(b) que a cada vetor do plano associa seu módulo;
(c) que a cada matriz 2 × 2 associa sua matriz transposta;
(d) que a cada matriz 2 × 2 associa seu determinante;
(e) que a cada polinômio (não nulo) com coecientes reais associa seu grau; (f) que a cada gura plana fechada e limitada no plano associa a sua área; (g) que a cada subconjunto de R associa seu complementar;
(h) que a cada subconjunto nito de N associa seu número de elementos;
(i) que a cada subconjunto não vazio de N associa seu menor elemento;
(j) que a cada função f : R → R associa seu valor no ponto x0 = 0.

2.

Mostre que a função inversa de f : X → Y , caso exista, é única, isto é, se existem g1 : Y → X e g2 : Y → X satisfazendo as condições da denição de função inversa, então g1 = g2 .
Lembre-se que duas funções são iguais se e só se possuem mesmos domínios e contradomínios e seus valores são iguais em todos os elementos do domínio. Assim, procure mostrar que g1 (y) = g2 (y), para todo y ∈ Y .
Sugestão:

1

3.

Seja f : X → Y uma função. Mostre que:
(a) f é sobrejetiva se, e somente se, existe g : Y → X tal que f ◦g = IY
(isto é, f admite uma função inversa à direita).
(b) f é injetiva se, e somente se, Existe g : Y → X tal que g ◦ f = IX
(isto é, f admite uma função inversa à esquerda).

4.

5.

6.

7.

Seja f : X → Y uma função. Mostre que se existem g1 : Y → X e g2 : Y → X tais que f ◦ g1 = IY e g2 ◦ f = IX , então g1 = g2 (portanto, neste caso, f será invertível).
Podemos garantir que a inversa à esquerda e a inversa à direita (denidas