Sólidos de Revolução

Sólidos de revolução Nesta seção usaremos a integral para calcular o volume de um tipo particular de região do espaço, chamada de sólidos de revolução. (Em Cálculo III, volumes de regiões mais gerais serão calculados usando integral tripla.) Considere uma função positiva no intervalo [a, b], f : [a; b] -> R+. Seja R a região delimitada pelo gráco de f, pelo eixo x e pelas retas x = a, x = b Sabemos que a área de R é dada pela integral de Riemann Consideremos agora o sólido S obtido girando a região R em torno do eixo x, como na figura abaixo: Sólidos que podem ser gerados dessa maneira, girando uma região em torno de um eixo, são chamados desólidos de revolução. Veremos situações em que a região não precisa ser delimitada pelo gráco de uma função, e que o eixo não precisa ser o eixo x. Nesta seção desenvolveremos métodos para calcular o volume V (S) de um sólido de revolução S. Antes de começar, consideremos um caso elementar, que será também usado para o caso geral. Exemplo 6.21. Suponha que f é constante em [a, b], isto é: f(x) = r > 0 para todo x ? 2 [a, b]: Neste caso, o sólido gerado S é um cilindro (deitado). A sua base é circular de raio r, e a sua altura é b - a. Pela fórmula bem conhecida do volume de um cilíndro, Queremos agora calcular V(S) para um sólido de revolução qualquer. O procedimento será o mesmo que levou à propria denição da integral de Riemann: aproximaremos S por sólidos mais elementares. Usaremos dois tipos de…

gerúndio. 1- O QUE SÃO SÓLIDOS? Definir sólidos geométricos comparando diferentes embalagens com figuras planas R: Definição de sólidos 2- COMO SABEMOS O VOLUME OCUPADO PELOS SÓLIDOS? Determinar o volume do solido analisando e comparando figuras que possuem a mesma base a alturas diferentes. Explorar sólidos variando a base e mantendo a altura para encontrar o volume. R: Definir volume dos sólidos usando base x altura x largura 3- QUAL A RELAÇÃO ENTRE A ALTURA E A BASE DOS…

EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II VOLUMES DE SÓLIDOS 1. Secção Transversal ou Secção Plana. Definição. Uma secção transversal de um sólido S é a região plana formada pela intersecção entre S e um plano. 2. Volumes por Cortes ou por Fatiamento. Definição 1. Seja S um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo x em x = a e x = b. Se para cada x em [a, b] a área da secção transversal de S perpendicular ao eixo x for A(x), onde A é contínua em [a, b], então o volume V do…

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II Carga horária: 80 h/a Créditos: 04 PLANO DE AULA UNIDADE I – APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA ALTUMAS TÉCNICAS DE ANTIDIFERENCIAÇÃO Muitas antiderivadas não podem ser encontradas diretamente com a aplicação dos teoremas de antidiferenciação vistos anteriormente. E então, faz-se necessário aprender certas técnicas que requerem a regra da cadeia para antidiferenciação e aquelas e aquelas que envolvem uma mudança de variável. Ilustração 1: Para…

1.1 Volume de um sólido de Revolução Considerando as diversas formas que encontramos na natureza, podemos verificar que muito poucas tem formas regulares, dificilmente poderíamos encontrar o volume de um corpo solido encontrado comumente na natureza por meio da geometria euclidiana, as curvas são comuns no nosso mundo, muitas delas podem ser determinadas por equações, porem antes que a teoria do Calculo fosse elaborada os volumes eram calculados por aproximações. Hoje podemos obter…

Ensino Superior Cálculo 2 4. Volume de Sólidos – Integral Simples Amintas Paiva Afonso Sólidos de Revolução Sólidos de Revolução Introdução: Dados um plano a, uma reta r desse plano e uma região R do plano a inteiramente contida num dos semi-planos de a determinado por r, vamos considerar o sólido de revolução gerado pela rotação da região R em torno da reta r. a Para isso usaremos ainda seções transversais e tomaremos como eixo orientado o eixo de rotação (a reta r). Volume de…

definida Volume de Sólido de Revolução Algumas aplicações da engenharia em estática, considerando um corpo extenso, e com distribuição continua de massa, uniforme ou não é necessário determinar-se e momento de inércia, centroide tanto de placas como de sólidos. Neste sentido é necessário o conhecimento de cálculo para determinação de volumes e áreas superficiais. Nesta aula será desenvolvido o método para cálculo do volume de revolução de um sólido, que deverão ser aplicados nas…

Sólido de revolução é a figura tridimensional obtida pela rotação de uma superfície em torno de um eixo. Os sólidos de revolução que nos interessam são obtidos de superfícies definidas por funções em um intervalo, através da rotação de y = f(x) em torno do eixo ox, ou em torno do eixo oy. Analogamente ao processo de encontrar área entre curvas no plano e a medida da superfície de sólidos de revolução (agora queremos seu volume) vamos fazer aproximações primeiro dividindo o…

de u e u' ou u e du na integral dada. Já sabemos que a integral está ligada ao problema de determinar a área de uma figura plana qualquer. Os problemas para o cálculo de área, não apresentam grande dificuldade se a figura plana for um retângulo, um paralelogramo ou um triângulo. A área de uma figura plana qualquer pode ser calculada aproximando a figura por polígonos, cujas áreas podem ser calculadas pelos métodos da geometria elementar. Isto nos motiva a considerar, agora, o problema…

br/trabalhos-escolares/matematica/inscricao-e-circunscricao-de-solidos/solidos-de-revolucao.html#ixzz3KpR7JvlU Etapa 3 Passo 2 O cálculo de área de figuras planas pode ser feito por integração conhecido como integral definida como área. Das aplicações da integração uma amostra das mais obviamente concebíveis estudo de áreas em superfícies planas delimitadas por curvas.Talvez esta seja a mais óbvia aplicação para o cálculo de integrais. Abaixo um estudo extraido da internet com acesso…