VOLUMES DE SÓLIDOS

EXERCÍCIOS DE CÁLCULO II

VOLUMES DE SÓLIDOS
1. Secção Transversal ou Secção Plana.
Definição. Uma secção transversal de um sólido S é a região plana formada pela intersecção entre S e um plano.
2. Volumes por Cortes ou por Fatiamento.
Definição 1. Seja S um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo x em x = a e x = b. Se para cada x em [a, b] a área da secção transversal de S perpendicular ao eixo x for
A(x), onde A é contínua em [a, b], então o volume V do sólido, em unidades cúbicas, será dada por Definição 2. Seja S um sólido delimitado por dois planos perpendiculares ao eixo y em y = c e y = d. Se para cada y em [c, d] a área da secção transversal de S perpendicular ao eixo y for
A(y), onde A é contínua em [a, b], então o volume V do sólido, em unidades cúbicas, será dada por 3.Sólido de Revolução.
Definição. Sólido de revolução é um sólido obtido pela rotação de uma região plana em torno de um eixo no plano desse eixo. Esse eixo é chamado eixo de revolução.
4. Volumes de Sólidos de Revolução.
4.1. Por Disco perpendicular ao eixo de revolução.
Teorema 1. Seja f uma função contínua e não negativa em [a, b]. Então o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região R limitada por y = f(x), pelo eixo x e pelas retas x = a e x = b, em unidades cúbicas, será dado por

Teorema 2. Seja g uma função contínua e não negativa em [c, d]. Então o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região R limitada por x = g(y), pelo eixo y e pelas retas x = c e x = d, em unidades cúbicas, será dado por

4.2. Por Anel Circular perpendicular ao eixo de revolução.
Teorema 1. Sejam f e g funções contínuas e não negativas em [a, b]. Supor que para todo x em [a, b]. Então, o volume V do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo x, da região R limitada por y = f(x) e y = g(x) e pelas retas x = a e x = b, em unidades cúbicas, será dado por

Teorema 2.