Volume de Solidos

Volume de Sólidos obtidos pela rotação em torno dos eixos x e y

Rotação em torno do eixo x Seja f contínua em [a, b], com f(x)≥0 em [a, b] e seja B o conjunto obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto:
 A = {(x,y)/ a ≤ x≤b e y = f(x)}


a

A
B

x1=a

x2=b

Calculo do Volume
Considerando uma partição P do intervalo
[a,b]: P = {a = x0, x1, x2, ..., xn = b}, tal que a = x0 < x1 < x2 < ... < xn = b

Seja xi = xi – xi-1 o comprimento do intervalo [xi-1 , xi].
Para cada intervalo [xi-1 , xi], escolhemos um ponto qualquer ci.
Para cada i, i = 1, ..., n, construímos um retângulo Ri, de base xi e altura f(ci).



Fazendo cada retângulo Ri girar em torno do eixo dos x, o sólido de revolução obtido é um cilindro, cujo volume é dado por:

A soma Vn dos n cilindros é uma aproximação grotesca do volume do cilindro formado pela rotação do gráfico de f(x),
2
V para
 [ a f (≤ c )]x≤b.
x   [ f (c )]2 x  ...  [ f (c )]2 x



n

1

n

1

Vn   [ f (ci )]2 xi i 1

2

2

n

n



A medida que n cresce muito e cada xi torna-se muito pequeno, a soma dos volumes dos n cilindros aproxima-se do que intuitivamente entendemos como o volume do sólido B. n Vn  lim   [ f (ci )]2 xi máxxi  0

i 1

b
2

Vn  [ f ( x)] dx a Exemplos


1) Seja f(x) = sen x, x  [a, b]. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação do gráfico de f, ou seja pela rotação da região delimitada pelo eixo x, o gráfico de f e as retas x = 0 e x =  .

O volume do sólido é dado por: 



V 

0

sen 2 x dx

x sen 2x
2
sen x 

C

2
4

V 




0

0





2 x sen
2
x

0





sen 2 x dx   
    

4 0
2
 2 4 2

0





2) Considere a região do plano delimitada pelo eixo x, o gráfico de y =  x, para 0  x  2, sendo girada ao redor do eixo x.