Calculo II

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Carga horária: 80 h/a
Créditos: 04
PLANO DE AULA
UNIDADE I – APLICAÇÕES DA INTEGRAL DEFINIDA
ALTUMAS TÉCNICAS DE ANTIDIFERENCIAÇÃO
Muitas antiderivadas não podem ser encontradas diretamente com a aplicação dos teoremas de antidiferenciação vistos anteriormente. E então, faz-se necessário aprender certas técnicas que requerem a regra da cadeia para antidiferenciação e aquelas e aquelas que envolvem uma mudança de variável.
Ilustração 1:
Para diferenciar

aplicamos a regra da cadeia para diferenciação e obtemos:
[

]

Suponha que desejamos antidiferenciar

. Então, precisamos calcular

∫
Para chegarmos a um procedimento que possa ser usado em tal situação, seja

Então,

pode ser escrito como
∫

Do teorema de antidiferenciação temos,
∫
Observe que (3) é da mesma forma que o primeiro membro de (4). Assim,
∫
e com

e

dados em (2) temos
∫(

)

(

)

A justificativa do procedimento usado para obter o resultado da Ilustração 1 é dada pelo teorema a seguir, que é análogo à regra da cadeia para a diferenciação, sendo chamado de regra da cadeia para a antidiferenciação.

Teorema 1: A Regra da Cadeia para a Antidiferenciação
Seja uma função diferenciável e seja o intervalo I a imagem de . Suponha que função definida em I e F seja uma antiderivada de em I. Então
∫

(

seja uma

)

Como caso particular do teorema 1, temos a fÓrmula da potencia generalizada para antiderivadas, que enunciaremos a seguir.
Teorema 2:
Se

for uma função diferenciável e se

for um número racional,

∫
Exemplo 1:

Calcule
∫√

Solução

Para aplicar o teorema 1, escrevemos primeiro
∫√

∫

Observamos que, se então Logo, precisamos de um fator de escrevemos ∫

que acompanhe

∫

Do teorema 1, com

∫

e

para dar

∫ dados por

, temos

. Assim sendo,

Exemplo 2:

Ache
∫

Solução

Observe que, se então Como
∫

∫

Precisamos de um fator 6 que acompanhe