Calculo ii

ETAPA I
Passo I :
Reduzindo-se a variação do tempo a zero, a velocidade média se aproxima de uma valor limte, ou seja, a velocidade instantânea.
Então a velocidade instantânea é obtida através da velocidade média reduzida a um determinado intervalo de tempo
Temos em física: v = lim∆t → 0∆x∆t
Considere o seguinte exemplo: suponha que você veja um radar a 100 m de distância quando dirigia seu carro a 100 km/h. Para não ser multado, você precisa passar pelo radar a menos de 50 km/h. Então, imediatamente você pisa nos freios (medida em metros) e encontra o radar 5,74 segundos depois (na posição zero).

- Qual a velocidade do carro no instante t= 5,74 s?
Para calcular a velocidade neste instante, vamos diminuir o intervalo de tempo até que ele seja tão pequeno, que o intervalo se reduz a esse instante.
Vamos começar com o intervalo entre 0 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Vamos agora diminuir para o intervalo de tempo entre os instantes 4,74 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,73 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Vamos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,749 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Iremos diminuir ainda mais para o intervalo entre 5,7399 s e 5,74 s, a velocidade média neste intervalo é:

Quando estamos no limite em que o intervalo é zero, temos a velocidade instantânea no exato momento em que o seu carro passa pelo radar. Podemos expressar matematicamente esta última frase da seguinte forma:

Esse limite (lim) define a derivada da posição com relação ao tempo, ou seja, a velocidade instantânea num dado instante é a derivada com relação ao tempo da função que descreve a posição da partícula neste dado instante.
Logo, a velocidade instantânea num dado instante t0 é expressa por:

(A expressão é a derivada da função posição, denotada por x(t), com relação ao tempo, que denotamos por t.)
Temos pela formula: