Me calculo ii

UNIVERSIDADE TIRADENTES
MEDIDA DE EFICIÊNCIA – 1ª UNIDADE – 2012 - 01
CÁLCULO II – CARLOS BASTOS

Parte I: a) INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 1º Tipo - Integrais Impróprias com Limites Infinitos:
DEFINIÇÃO 1 - Integrais Impróprias com limite superior infinito:
Seja f uma função definida pelo menos no intervalo [a, + ∞ ). Suponha que ƒ seja Riemann-integrável no intervalo fechado [a,b] para todos os valores b e maiores que a. Então define-se: a+∞f(x)dx=limb→+∞abf(x)dx Se o limite existe e é um número finito, diz-se que a integral imprópria 0+∞fxdx é convergente. Em caso contrário ela é dita dirvegente.
Uma integral imprópria com um limite inferior é definida analogamente por:
-∞bf(x)dx=lima→-∞abf(x)dx
Quando o limite existe e é finito, a integral imprópria -∞bf(x)dx é convergente. Em caso contrário, ela é divergente.
Exemplo: Calcular a integral imprópria 1+∞dx/x³, se ela for convergente:
Pela definição:
1+∞dxx3 =limb→+∞1bdxx3 = limb→+∞-12x2b= limb→+∞ -12xb2+12 = 12

Integrais impróprias com ambos os limites infinitos:
Seja f uma função para todos os valores reais e suponha que ambas as integrais ímpróprias 0+∞fxdx e -∞0f(x)dx sejam convergentes. Então por definição:
-∞∞f(x)dx=0+∞f(x)dx+ -∞0f(x)dx e dizemos que a integral imprópria -∞∞f(x)dx é convergente.
Se qualquer das integrais impróprias 0+∞fxdx ou -∞0f(x)dx for divergente, dizemos que a integral -∞∞f(x)dx é divergente.

b) INTEGRAIS IMPRÓPRIAS 2º Tipo - Integrais Impróprias com Integrandos Ilimitados:
As integrais impróprias podem ser empregadas para calcular áreas de regiões ilimitadas no plano xy, como na definição anterior que se estedem indefinidamente para a direita ou para a esquerda.
No caso de integrais impróprias com integrandos ilimidatos, considera-se regiões ilimitadas que se estendem indefinidamente para cima ou pata baixo.
No limite inferior: Considerando o caso em que a integral definida bf(x)dx não exista porque f(a) não é definido.
Suponha que a função