O Problema da Braquistócrona

O Problema da Braquistócrona

Introdução ao Problema
O problema da braquistócrona, proposto por John Bernoulli em 1696, consiste em encontrar uma curva que una dois pontos e situados num mesmo plano vertical com a propriedade de que uma partícula inicialmente em repouso que se deslize sobre essa curva leve o menor tempo possível para ir, sob a ação da gravidade, de até O ponto é suposto estar acima do ponto mas não na mesma vertical. Quando e se encontram na mesma vertical, a solução é simples (qual?).

Figura 1: O caminho mais rápido
A solução desse problema foi publicada pouco menos de um ano após a sua proposição por James Bernoulli, irmão mais velho de John Bernoulli. Outros matemáticos como Leibnitz, Newton e o próprio John Bernoulli também resolveram o problema.
A Modelagem do Problema
O primeiro passo na resolução deste problema é encontrar o tempo que a partícula leva para se deslocar sobre uma curva qualquer que una a pois, a partir disso, poderemos variar entre todas as possíveis curvas para encontrar aquela de menor tempo.
Esquematizando no plano coordenado, temos:

Figura 2: Deslocamento da partícula sob a ação da gravidade
Note que orientamos o eixo no sentido oposto ao usual. Isto é conveniente pois, neste caso, a força exercida pela gravidade fica orientada no sentido positivo. O sistema de coordenadas também foi escolhido de modo que o ponto fique localizado na origem.
Sabemos da Física que quando uma partícula atua sob a ação da gravidade, o trabalho realizado para se deslocar de até um ponto é igual à variação da energia cinética. Assim, denotando por o módulo da velocidade (velocidade escalar) da partícula no ponto por o seu deslocamento vertical e por a sua massa, temos

(2.1)
Mas, a velocidade escalar é a variação do espaço percorrido -- no esquema acima -- pelo tempo, ou seja, e, por (2.1),
Usando o fato que o comprimento do arco percorrido para ir de a através de uma curva que é representada pelo