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Tomando o menor tempo para ir de um ponto A a um ponto B, deparamo-nos com o problema da Braquistócrona. Ist o é, na verdade, um problemas bastantante antigo na história. De fato, sua primeira formulação precede a invenção do skate por aproximadamente 3 séculos. No século XVIII, Johann Bernoulli anunciou um problema que ocupou as grandes mentes do tempo. Ele publicou o problema segunte no Acta Eruditorium de Leipzig: ‘’Dados dois pontos A e B em um plano vertical, qual será a curva traçada por um ponto atuante somente pela gravidade, que começaria em A e terminaria em B no menor tempo?”. O problema se referiria à Braquistócrona, que literalmente significa “o menor tempo”. São conhecidas cinco propostas de matemáticos que resolveriam o problema, dentre eles se encontram Leibniz, L’hôpital, Newton, Johann Bernoulli e Jacob Bernoulli. A integral que minimizaria o tempo é demonstrada por

E a função portanto

Sendo que x não apareçe explicitamente em f, podemos aplicar a identidade de Beltrami. A melhor curva seria dada então por uma função y que satisfaça

Expandindo estes campos

Podemos simplificar a expressão colocando as duas em termos de um denominador comum

Resolvendo por y’, obtemos a equação diferencial

Onde k é uma constante igual a Esta equação diferencial é impossível de ser expressa em uma simples função de x. A substituição trigonométrica seguinte irá permitir integrar a equação

A função é uma nova função de x e quando isolado y, obtemos

A derivada de pode ser calculada usando a regra da cadeia

Um método típico de resolver esta equação involve reescrevê-la na forma

Na qual é indicada a relação entre os valores infinetesimais de dx e d. Integrando ambos os lados, obtemos:

Escolhendo o ponto inicial da trajetória como A, podemos fixar a constante de integração . Determinando que em A as coordenadas x e y são iguais a zero, a equação força . Que se substituído na equação anterior acarreta em e