Teoremas dos pis

Cap.7 – Análise Dimensional e semelhança
7.1 - Introdução
7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham
7.3 – Determinação dos grupos Pi
7.4 – Grupos adimensionais na mecânica dos fluidos
7.5 – Semelhança de escoamentos e estudos de modelos
7.6 – Equações diferenciais na forma adimensional

7.1 – Introdução
Problema típico em mecânica dos fluidos :
Diminuir arrasto aerodinâmico em veículos

Equações
Fundamentais

Soluções
Analíticas

Protótipos em escala 1:1

Soluções
Numéricas

Testes em modelos Métodos
Experimentais

Análise Dimensional
A maioria dos fenômenos da mecânica dos fluidos são caracterizados por parâmetros geométricos do escoamento e por grandezas mensuráveis do escoamento, tais como pressão, velocidade e por características físicas dos fluidos

F

V

F = f ( V,D, ρ, µ )

 ρVD 
F
= f
2 2
 µ 

ρV D



Parâmetros adimensionais V

F

 ρVD 
F
= f
2 2
 µ 

ρV D


Sistema M,L,t
(massa, comprimento e tempo)

  M  L  
 ML 
  3   [L ] 
 t2 


 L   t  
=f
2


M 
 M  L  2


 Lt 
 L3   t 2 L
 


  

(

M0L0 t 0 = f M0L0 t 0

)

[ −] = f ([ −])

ρVD
VD
VD
=
=
= Re µ (µ / ρ ) ν Número de Reynolds
(parâmetro adimensional)

7.2 – Teorema dos Pi de Buckingham
Considerando um problema no qual um parâmetro é dependente de n-1 parâmetros independentes, pode-se escrever a função :

q1 = f ( q2 , q3 , q4 ,..., qn )

F = f ( V,D, ρ, µ )

Matematicamente, expressa-se a relação acima de forma equivalente :

g( q1, q2 , q3 , q4 ,..., qn ) = 0

g(F, V,D, ρ, µ ) = 0

O teorema dos PI de Buckingham:
Dada uma relação entre n parâmetros do tipo g( q1, q2 , q3 , q4 ,..., qn ) = 0 , então os n parâmetros poderão ser agrupados em (n-m) razões independentes adimensionais, os parâmetros Π , que podem ser expressos por uma função :

G( Π 1, Π 2 ,..., Π n−m ) = 0

 ρVD 
F
− f
2 2
 µ =0
