Energia De Deforma O Em Regime El Stico 2008

FEG - UNESP
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS-TEORIA

Prof. Yzumi Taguti

Energia de Deformação em regime elástico y 1) Cálculo pelas tensões e deformações
Seja, um elemento infinitesimal de volume dV = dxdydz, submetida a tensões normais e tangenciais em suas faces. O primeiro índice da tensão tangencial τ ij indica o plano perpendicular, onde esta atua, ao eixo i e o segundo indica a direção j da tensão. As tensões normais σ i estão aplicadas na direção e no plano perpendicular ao eixo i.

σy τ yx τ yz

dy τ xy σx τzy τzx τ xz

σz

dz

dx z Deformações normais específicas:

1
[σ x − ν(σ y + σ z )]
E
1 ε y = [σ y − ν(σ x + σ z )]
E
1 ε z = [σ z − ν(σ x + σ y )]
E
εx =

; onde

E = módulo de elasticidade longitudinal ν = coeficiente de Poisson

Deformações transversais ou distorções

γ xy = γ yz = γ xz

τ xy
G
τ yz

G τ = xz
G

; onde

G = módulo de elasticidade transversal
E
Com, G =
2(1 + ν)

Energia de deformação das forças:
1
(σ x dydz)ε x dx
2
1
Força σ y dxdz → (σ y dxdz)ε y dy
2
1
Força σ z dxdy → (σ z dxdy)ε z dz
2
Força σ x dydz →

1

- Notas de aulas - 2008

x

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2

- Notas de aulas - 2008

Prof. Yzumi Taguti
1
(τ xy dydz) γ xy dx
2
1
Força τ yz dxdz → (τ yz dxdz) γ yz dy
2
1
Força τ zx dxdy → (τ zx dxdy) γ zx dz
2

τ yx

Força τ xy dydz →

γ xy

τ xy γ xy dx

dx

Sendo o volume infinitesimal dado por, dV = dxdydz , então a energia de deformação acumulada é: dU =

1 dV (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx )
2

Substituindo-se as expressões das deformações tem-se a energia específica de deformação, por unidade de volume: dU = U 0 = energia específica de deformação dada por: dV U0 =

1
1
[ σ x 2 + σ y 2 + σ y 2 − 2ν ( σ y σ z + σ z σ x + σ x σ y ] +
(τ xy 2 + τ yz 2 + τ zx 2 )
2E
2G

(1)

Se o elemento estiver orientado segundo as direções principais:
U0 =

1
[ σ 1 2 + σ 2 2 + σ 2 2 − 2ν ( σ 2 σ 3 + σ 3 σ 1 + σ 1 σ 2 ]
2E

(2)

Para toda a estrutura, a energia de deformação total acumulada