Teoremas trabalho de deformação

Sumário

TEOREMA DE BETTI

Seja uma estrutura qualquer, para qual um grupo de cargas Pi constitui o estado de deformação e outro grupo de cargas Pk constitui o estado de carregamento. Aplicando o teorema dos trabalhos virtuais, temos, indexando as deformações com dois índices, o primeiro indicando o local da deformação e o segundo a causa que a provocou:
∑ Pk ki = ∫ Mi Mk ds + … + ∫ x Qi Qk ds EJ GS

ki, conforme a indexação adotada, indica a deformação, na direção da carga Pk devida ao carregamento Pi).
Tomando, agora, para a mesma estrutura, Pk como estado de deformação e Pi como estado de carregamento, temos:
∑ Pi ik = ∫ Mi Mk ds + … + ∫ x Qi Qk ds EJ GS

ik, indica a deformação, na direção da carga Pi, devida ao carregamento Pk). Igualando as duas expressões, obtemos: ∑ Pi ik = ∑ Pk ki – Expressão do teorema de Betti, que nos diz:
“O trabalho virtual produzido por um sistema de forças em equilíbrio, quando se desloca devido às deformações produzidas por outro sistema de forças em equilíbrio, é igual ao trabalho virtual produzido por este segundo sistema de forças quando se desloca devido às deformações produzidas pelo primeiro sistema.”
TEOREMA DE MAXWELL

Fazendo, no caso do Teorema de Betti, com que Pi e Pk sejam uma única força
(ou momento) unitária, teremos:
1 x ik = 1 x ki, expressão do teorema de Maxwell, que nos diz:
“O deslocamento de um ponto na direção de um esforço unitário, provocado por um segundo esforço unitário, é igual ao deslocamento do ponto de aplicação do segundo esforço, em sua direção, devido à aplicação do primeiro esforço unitário.”

O esforço a que se refere o teorema pode ser evidentemente, uma força ou um momento.
TEOREMAS DE CASTIGLIANO

Seja a estrutura da figura abaixo, carregada com as cargas estáticas Pi (cargas cujos