Teorema Fundamental das Curvas Planas

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O Teorema Fundamental das Curvas Planas e Aplicac¸oes
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Lucas Duraes da Silva* [e-mail] ´
Departamento de Matematica
— Universidade de Bras´ılia
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Orientadora: Luciana Maria Dias de Avila
Rodrigues
*Bolsista PETMAT - UnB

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Introduc¸ao
O objetivo principal e´ mostrar o Teorema Fundamental das
˜ curCurvas Planas, que, em certo sentido, afirma que a func¸ao
˜ no plano. vatura determina a curva a menos de sua posic¸ao
A partir deste teorema determinaremos exemplos expl´ıcitos de curvas planas.

O vetor n(s) e´ chamado o vetor normal a` curva α em α(s).
O conjunto de vetores t(s) e n(s) e´ chamado referencial de
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Frenet da curva α em s. E as equac¸oes

n (s) = −k(s)t(s)
˜ chamadas formulas
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sao de Frenet da curva α.

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Comec¸aremos com alguns conceitos basicos acerca do estudo das curvas planas:
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Definic¸oes:
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i) Uma curva α parametrizada diferenciavel do plano e´ uma
˜ α : I → R2 tal que ∀ t ∈ I , associa α(t) = (x(t), y(t)), aplicac¸ao ˜
˜ func¸oes
˜
´ onde as func¸oes x, y : I → R sao diferenciaveis de classe C ∞.
´
ˆ ii) A variavel t ∈ I e´ dita parametro da curva. iii) O subconjunto de R2 dos pontos que α assume, com t ∈ I e´ chamado o trac¸o da curva. iv) O vetor α (t) = (x (t), y (t)) e´ chamado o vetor tangente a α em t.
v) A curva α : I → R2 e´ dita regular se ∀ t ∈ I, α (t) = 0.

Teorema:
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a)
Dada uma func¸ao diferenciavel k(s), s ∈ I ⊂ R, existe uma curva regular α(s), parametrizada pelo comprimento de arco s, cuja curvatura e´ k(s).
b) A curva α(s) acima e´ unica quando fixamos α(s0) = p0 e
´
´ α (s0) = v0, onde v0 e´ um vetor unitario de R2.
ˆ
c) Se duas curvas α(s) e β(s) tem a mesma curva˜ elas diferem por sua posic¸ao
˜ no plano, isto e,
´
tura, entao
˜ L e uma translac¸ao
˜ T em R2, tal que existe uma rotac¸ao α(S) = (L ◦ T )(β(s)).
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Demonstrac¸ao:
a)Consideremos θ(s) = ss01 k(s)ds, onde s0 ∈ I e´ fixo. Fixemos um ponto p0 = (x0, y0) de R2 e λ ∈ R. Definimos uma curva α(s) = (x(s), y(s)) por s1 x(s) = x0 +

sin(θ(s) + λ)ds.
s0