Teoremas de Stokes e Green

TEOREMA DE STOKES

O Teorema de Stokes, na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. É assim chamado em homenagem ao matemático George Gabriel Stokes (1819-1903), embora a primeira referência conhecida do resultado seja por William Thomson (Lord Kelvin) e apareça em uma carta dele para Stokes, datada de 2 de julho de 1850.1 2 Quando a superfície é plana, o Teorema de Stokes cai em uma forma particular conhecido como Teorema de Green.
O teorema fundamental do cálculo estabelece que a integral de uma função f sobre um intervalo [a, b] pode ser calculada através da busca de uma HYPERLINK "http://pt.wikipedia.org/wiki/Antiderivada" \o "Antiderivada" antiderivada F de f:

O teorema de Stokes é uma grande generalização deste teorema no seguinte sentido.
Por uma escolha de F, . Na linguagem das formas diferenciais, isto é dizer que f(x) dx é a derivada exterior da 0-forma, isto é função, F: em outras palavras, que dF = f dx. O teorema geral de Stokes se aplica a formas diferenciais superiores em vez de F.
Um intervalo [a, b] é simplesmente um exemplo de uma variedade unidimensional com bordo. Seu bordo é o conjunto que consiste dos dois pontos a e b. A integração de fsobre o intervalo pode ser generalizada para a integração de formas sobre variedades de dimensões maiores. Duas condições técnicas são necessárias: a variedade tem que ser orientável, e a forma tem que ter suporte compacto para que a integral resultante esteja bem definida.
Os dois pontos a and b formam o bordo do intervalo aberto. De forma mais geral, o teorema de Stokes se aplica a variedades orientadas M com bordo. A fronteira ∂M de Mé ela mesma uma variedade e herda uma orientação natural daquela da variedade. Por exemplo, a orientação natural do intervalo fornece uma orientação dos pontos da fronteira. Intuitivamente, a herda a orientação oposta de b, uma vez que são extremos opostos do intervalo.