Teoremas de Green, Stokes e Gauss

Teoremas de Green, Stokes e Gauss por Milton Procópio de Borba
Estes teoremas reduzem o trabalho quando fazemos algumas integrais demoradas.

O Teorema de Green, transforma uma integral dupla (no plano XoY, por exemplo) numa integral de linha (contorno da região de integração) ou vice-versa.

Consideremos uma região R regular limitada pelas curvas C1: y = f(x) e C2: y = g(x) , ambas definidas para x entre x = a e x = b .
Para cada função U( x , y ), temos que

= =
Então, por trocas de sinais, conseguimos
-=+=+,
ou seja: – = , com C = C1  C2

De modo análogo, se R também for regular limitada pelas curvas
C3: x = p(y) e C4: x = q(y) , ambas definidas para y entre y = c e y = d , para cada função V( x , y ), temos que == +,

ou seja: = . com C = C3  C4
Quando R não for regular nas duas direções (OX e OY), podemos dividí-la em regiões assim regulares.

Numa só equação, temos o enunciado do
Teorema de Green
Se U , V , xV e xV forem contínuas numa região R (do plano XoY), então = = .dS , com C = fronteira de R, de forma que R fique na esquerda quando percorremos C no sentido de integração.

Exemplo:
Seja a função F( x , y ) = [ x + 2y2 , x2 +3y ] e a curva C dada pelo bordo do quadrado [ 0 , 1 ]2, z = 0.
Calcule a integral de linha .dS para a curva orientada no sentido anti-horário.
Solução (sem usar o Teorema de Green):

Parametrizando os segmentos:
C1 : [ t , 0 ] , 0  t  1
C2 : [ 1 , t ] , 0  t  1
C3 : [ 1 – t , 1 ] , 0  t  1
C4 : [ 0 , 1 – t ] , 0  t  1

Calculando os vetores tangentes: dS1 : [ 1 , 0 ] dt , 0  t  1 dS2 : [ 0 , 1 ] dt , 0  t  1 dS3 : [–1 , 0 ] dt , 0  t  1 dS4 : [ 0 , –1 ] dt , 0  t  1

Calculando a função em cada parte da curva:

C1: F.dS = ( x + 2y2)dt = t.dt , 0  t  1

C2: f( t ) = (x2 + 3y)dt = (1 + 3t)dt , 0  t  1

C3: f( t ) = - ( x + 2y2)dt = (t – 3)dt , 0  t  1

C4: f( t ) = - (x2 +