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INTRODUÇÃO

Os teorema de Green, Stokes e Gauss, reduzem o trabalho quando fazemos algumas integrais demoradas. Neste trabalho, apresentarei o enunciado de cada um deles, os exemplos e aplicações na Engenharia.

TEOREMA DE GRENN

O Teorema de Green, transforma uma integral dupla (no plano XoY, por exemplo) numa integral de linha (contorno da região de integração) ou vice-versa. Consideremos uma região R regular limitada pelas curvas C1: y = f(x) e C2: y = g(x) , ambas definidas para x entre x = a e x = b .
Para cada função U( x , y ), temos que = = Então, por trocas de sinais, conseguimos
- = + = + , ou seja: – = , com C = C1 C2 De modo análogo, se R também for regular limitada pelas curvas
C3: x = p(y) e C4: x = q(y) , ambas definidas para y entre y = c e y = d , para cada função V( x , y ), temos que = = + , ou seja: = . com C = C3 C4 Quando R não for regular nas duas direções (OX e OY), podemos dividi-la em regiões assim regulares. Numa só equação, temos o enunciado do Teorema de Green. Se U , V , xV e xV forem contínuas numa região R (do plano XoY), então = = .dS , com C = fronteira de R, de forma que R fique na esquerda quando percorremos C no sentido de integração.

Exemplos

Seja a função F( x , y ) = [ x+ 2y2, x2 +3y ] e a curva C dada pelo bordo do quadrado [ 0 , 1 ]2, z = 0. Calcule a integral de linha .dS para a curva orientada no sentido anti-horário.
Solução (sem usar o Teorema de Green):

Parametrizando os segmentos:
C1 : [ t , 0 ] , 0  t  1
C2 : [ 1 , t ] , 0  t  1
C3 : [ 1 – t , 1 ] , 0  t  1
C4 : [ 0 , 1 – t ] , 0  t  1
Calculando os vetores tangentes: dS1 : [ 1 , 0 ] dt , 0  t  1 dS2 : [ 0 , 1 ] dt , 0  t  1 dS3 : [–1 , 0 ] dt , 0  t  1 dS4 : [ 0 , –1 ] dt , 0  t  1
Calculando a função em cada parte da curva:
C1: F.dS = ( x+ 2y2)dt=t.dt , 0  t  1
C2: f( t ) = (x2 + 3y)dt=(1 + 3t)dt , 0  t