Sistemas Lineares

Uni Sant’Anna

2. Sistemas Lineares

Disciplina: Cálculo Numérico

2 . Sistemas Lineares
Um sistema com n equações lineares pode ser escrita na forma: a11. x1 + a12. x2 + ......... + a1n. xn = b1 a21. x1 + a22. x2 + ......... + a2n. xn = b2 ..................................................................................... an1. x1 + an2. x2 + ......... + ann. xn = bn na forma matricial fica:

Ax = b onde a11 a21 A=

a12 a22 :

:

an1

an2

......
......

a1n a2n ......

ann

:

e

x=

x1 x2 :

e

xn

b=

b1 b2 : bn A matriz A é conhecida como matriz dos coeficientes ( An x n ).
O vetor x é vetor das incógnitas ( xn x 1 ).
O vetor b é vetor dos termos independentes ( bn x 1 ).

Resolver um sistema linear é obter o valor do vetor x.
2.1. Classificação de um sistema linear com relação ao número de soluções
a) Compatível e determinado: quando houver uma única solução
b) Compatível e indeterminado: quando houver uma infinidade de soluções
c) Incompatível: quando o sistema não admite solução.
2.2. Métodos numéricos para resolução de Sistemas de Equações Lineares
São divididos em dois grupos:
a) Métodos Diretos
• produzem uma solução exata (a menos de erros de arredondamento) através da execução de um número finito de operações aritméticas
• Exemplo de método direto: Regra de Cramer. Nesse método um sistema n x n o número de operações envolvidas é (n+1).(n!).(n-1) + n. Se um computador efetua uma operação em 10-8 segundos, gastaria cerca de 36 dias para resolver um sistema de ordem n = 15.
• Os métodos mais conhecidos são: Método de Gauss e Método da Decomposição LU.
b) Métodos Iterativos
• permitem calcular uma seqüência de aproximações para valores de x até uma precisão préestabelecida.
• Entre os métodos mais conhecidos temos: Método de Jacobi e Método de Gauss-Siedel.
Prof. André – [e-mail]

15/Março/2013

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