sistema lineares

SISTEMAS LINEARES
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Um sistema de equações lineares n x n, ou seja, n equações e n incógnitas é do tipo:

Pode ser escrito na forma matricial A X = B, onde A é a matriz dos coeficientes, X a matriz coluna das incógnitas e B a matriz coluna dos termos independentes.

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Matriz associada ou completa do sistema (M)
Exemplo:

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Sistema Linear Homogêneo
Se o sistema é da forma:

dizemos que o sistema é linear homogêneo.
Portanto => A.X = 0
Sistema apresenta pelo menos uma solução, a Trivial.
Solução Trivial => x1=0, x2=0,

, xn=0

Qualquer outra solução com as incógnitas não todas nulas é chamada solução não Trivial.

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Classificação Sistemas Lineares

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Exemplo 1:

X1=3
X2=2
S={(3,2)}

Sistema Possível (Compatível) e Determinado

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Exemplo 2:

Note que qualquer valor de x1 e x2 satisfaz a igualdade. Nesse caso dizemos que o sistema é possível e indeterminado porque apresenta infinitas soluções. Sistema Possível (Compatível) e Indeterminado

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Exemplo 3:

Nesse caso dizemos que o sistema é impossível.
Ou seja, não existe solução.
Sistema Impossível.

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Sistemas Triangulares – Métodos Diretos
Um sistema linear é chamado Sistema Triangular por
Cima (ou à direita ou sobre a diagonal) se e só se possui a forma:

Ou, A = [ aij ] nxn

i > j =>

aij = 0

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Resolução
Um sistema triangular por cima é resolvido facilmente pelo método de substituição retroativa se todo aij ≠ 0.
1) Inicia-se obtendo o valor de xn na última equação: xn = bn : amn
2) Substituindo o valor de xn na penúltima equação depois na antepenúltima, assim retroativamente vamos obtendo as outras incógnitas.
Analogamente se resolveria um Sistema Triangular subdiagonal pelo método de substituição progressiva, obtendo primeiramente x1 e depois x2 e assim sucessivamente.

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