Regressão Linear Multipla

REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA
PPGEP

CAPÍTULO 10

Muitos problemas de regressão envolvem mais de uma variável regressora. Por exemplo, a qualidade de um processo químico pode depender da temperatura, pressão e taxa de agitação. Nesse caso há três variáveis regressoras.

Regressão Linear Múltipla

REGRESSÃO LINEAR
MÚLTIPLA

PPGEP
UFRGS

O Modelo da Regressão Linear Múltipla
O modelo geral da regressão linear múltipla é:

Y = β0 + β1 X 1 + β2 X 2 + ... + β k X k + ε (1)
O problema então é estimar o valor dos coeficientes βi a partir de um conjunto de dados do tipo:
PPGEP/UFRGS

Y y1 y2
.
.
.
yn

X1 x11 x21
.
.
.
xn1

X2 x12 x22
.
.
.
xn2

...
...
...
.
.
.
...

nesse caso é fácil mostrar que:

Xk x1k x2k
.
.
.
xnk

PPGEP

, β0 = β0 + β1 x1 + ... + βk xk

enquanto que os demais coeficientes β1,...,βk ficam inalterados. O que está sendo feito é simplesmente eliminar o valor médio das variáveis regressoras.

Regressão Linear Múltipla

Regressão Linear Múltipla

PPGEP

Novamente, o método dos mínimos quadrados é usado para minimizar: [

(

L = ∑ y j − b0 + b1 x1 j + ... + bk xkj

)]2

(2)

Observa-se que a aplicação do método dos mínimos quadrados fica simplificada se o modelo (1) é reescrito como:
,
Y = β0 + β1 ( X 1 − x1 ) + ... + β k ( X k − xk ) + ε
PPGEP/UFRGS

2

(3)
3

Além de simplificar a estimativa dos coeficientes, o uso do modelo
(3) também facilita outras tarefas associadas a inferências.
Usando (3) , a função a ser minimizada é:

[ (

(

)

(

,
L = ∑ yi − b0 + b1 x1 j − x1 + ... + bk xkj − xk

PPGEP/UFRGS

))]2

(4)

4

Notação Matricial
PPGEP

PPGEP

Regressão Linear Múltipla

Regressão Linear Múltipla

,
β0 
1 ( x11 − x1 ) ... ( xk 1 − xk ) 
Y1 
ε 1 
 
.

. 
. 
.
.
. 


 
 
 ; β = .  ; ε = . 
Y = .  ; X = .
.
.
 


 
 
. 
.
.
.
. 



. 