Regra de Simpson

Primeira regra de Simpson (Regra de Simpson 1/3): Para a obtenção desta fórmula é utilizado o polinómio de Gregory-Newton de 2º grau:

Assim,

Para se aproximar a função f(x) por um polinómio do 2º grau, são necessários 3 pontos , igualmente espaçados. Efetuando uma mudança no intervalo de integração, isto é, passando de [a,b] para [], tem-se:

Como e, temos que

Integrando, obtém-se:

Sabe-se que:

Logo,

Primeira regra de Simpson ou Regra de 1/3

Graficamente:

A primeira regra de Simpson utiliza a área sob uma parábola para aproximar a área sob a curva em dois intervalos adjacentes.

EXEMPLO 1:

EXEMPLO 2:

Use a regra de Simpson 1/3 para integrar a eq. , a partir de a = 0 b = 0,8. Lembre-se que a integral exata é 1,640533.

O erro estimado é:

Regra de Simpson 1/3 Repetida:

Para obter a fórmula composta deve dividir-se o intervalo de integração [a,b] em n subintervalos iguais de amplitude h e a cada par de subintervalos aplicar a primeira regra de Simpson. Como a regra de Simpson simples é aplicada a pares de subintervalos, o número de subintervalos tem que ser par e casa subintervalo tem amplitude .

Obtém-se então:

Graficamente:

EXEMPLO 1:

Calcular uma aproximação para a função abaixo utilizando a regra de 1/3 de Simpson repetida. Considere m = 10:

Desta forma, teremos:

Assim:

Se a integral definida na função, obteremos:

Comparando os resultados de (20) e (21), vemos que o erro aparece na sexta casa decimal. Se quisermos ter uma aproximação ainda melhor, basta aumentarmos o valor de m o quanto desejarmos.

EXEMPLO 2:

Use n = 4 para estimar a integral pela eq. , a partir de a = 0 b = 0,8. Lembre-se que a integral exata é 1,640533.

Solução:

O erro estimado é: