Algoritmo da Bissecção

Integração Numérica:
Regras de Simpson

Emanuele Santos

Objetivos
• Ao final desta aula você será capaz de:
‣ Utilizar as regras de Simpson para calcular a integral de funções UFC - Universidade Federal do Ceará - Cálculo Numérico - Professora Emanuele Santos
- Período 2013.1

2

Agenda
• Regra 1/3 de Simpson
‣ Erro de aproximação
• Regra 3/8 de Simpson
‣ Erro de aproximação
• Forma geral das fórmulas de Newton-Cotes
• Regra 1/3 de Simpson repetida
‣ Erro de aproximação

UFC - Universidade Federal do Ceará - Cálculo Numérico - Professora Emanuele Santos
- Período 2013.1

3

Ideia básica de
Integração Numérica
• Substituição da função f(x) por um polinômio que a aproxime razoavelmente no intervalo [a, b]
‣ Resolução do problema por integração de polinômios
• Utilização de fórmulas que terão a expressão:

• Os pesos Ai vão depender da fórmula que estivermos utilizando
UFC - Universidade Federal do Ceará - Cálculo Numérico - Professora Emanuele Santos
- Período 2013.1

4

Fórmulas de Newton-Cotes
• Seja uma função f(x) aproximada por um polinômio interpolador,

por exemplo um polinômio de Lagrange
• Polinômio interpola f(x) em pontos de [a,b] igualmente espaçados

f(x) h a=x0x1 x2 ... xn-1xn=b x

subintervalos [xi, xi+1] de tamanho h, i = 0, 1, ..., n-1 xi+1 - xi = h = (b-a)/n x0 = a, xn = b: fórmulas fechadas x0 e xn ∈ (a, b): fórmulas abertas

UFC - Universidade Federal do Ceará - Cálculo Numérico - Professora Emanuele Santos
- Período 2013.1

5

Regra dos Trapézios
• Seja uma função f(x) aproximada pelo polinômio interpolador de Lagrange de grau 1, interpolando f(x) em x0 e x1:

f(x)

h

f(x1) f(x0) a=x0
UFC - Universidade Federal do Ceará - Cálculo Numérico - Professora Emanuele Santos
- Período 2013.1

p1(x)

b=x1 x
6

Regra 1/3 de Simpson
• Aproximar f(x) por um polinômio interpolador de grau 2:

• p2(x) pela forma de Lagrange:

UFC - Universidade Federal do Ceará